Question

В трапеции ABCD продолжения боковых сторон пересекаются вточке K, причем точка B-середина отрезка AK. Найдите сумму оснований трапеции если AD=12 см

Answer 1

Треугольник АКД и ВКС подобны (по трем углам), а значит
ВК/АК=ВС/АД
1/2=ВС/12
ВС=6
6+12=18см

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины: - \(AB\) и \(CD\) - основания трапеции, - \(AD\) - одно из боковых сторон, - \(BC\) - другое боковое основание.

Также известно, что точка \(B\) является серединой отрезка \(AK\). Пусть \(M\) - середина отрезка \(CD\). Тогда отрезок \(BM\) также является медианой трапеции \(ABCD\), и точка их пересечения - точка \(K\).

Из условия известно, что \(BM\) - медиана. Медиана в треугольнике делит её пополам, так что \(BM\) равно половине основания \(CD\), то есть \(BM = \frac{1}{2} CD\).

Также, поскольку точка \(B\) является серединой отрезка \(AK\), то \(AB = BK\), а также \(DK = CK\).

Из правила треугольника \(ABK\) следует, что \(AB + BK > AK\). Поскольку \(AB = BK\), мы можем записать \(2 \cdot AB > AK\).

Теперь мы знаем, что \(AK > 2 \cdot AB\). Из этого следует, что \(AK > BM + MB = \frac{1}{2} CD + \frac{1}{2} CD = CD\).

Таким образом, длина бокового основания \(CD\) меньше, чем длина отрезка \(AK\), и точка \(K\) лежит внутри трапеции.

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Талеса для треугольника \(KDC\), чтобы найти длину отрезка \(KC\):

\[ \frac{BD}{DC} = \frac{BK}{KC} \]

Поскольку \(BD = CD\) (так как \(B\) - середина отрезка \(AK\)), то

\[ \frac{CD}{DC} = \frac{BK}{KC} \]

Сокращаем дробь на обеих сторонах:

\[ \frac{CD}{C} = \frac{BK}{KC} \]

Теперь умножим обе стороны на \(KC\):

\[ CD = BK \]

Таким образом, боковое основание \(CD\) равно отрезку \(BK\).

Теперь мы можем выразить длину бокового основания \(CD\) через основания и боковую сторону:

\[ CD = BK = AB + AD \]

Теперь, зная, что \(AD = 12 \, \text{см}\), мы можем выразить \(CD\):

\[ CD = AB + 12 \, \text{см} \]

Также мы знаем, что \(CD = 2 \cdot AB\), поэтому:

\[ 2 \cdot AB = AB + 12 \, \text{см} \]

Выразим \(AB\):

\[ AB = 12 \, \text{см} \]

Теперь мы можем найти сумму оснований трапеции:

\[ AB + CD = 12 \, \text{см} + (AB + 12 \, \text{см}) = 2 \cdot AB + 12 \, \text{см} = 2 \cdot 12 \, \text{см} + 12 \, \text{см} = 36 \, \text{см} \]

Таким образом, сумма оснований трапеции равна \(36 \, \text{см}\).