Question

Стороны AB, BC и AC треугольника ABC касаются окружности с центром O в точках M, K и P соответственно так, что BM = 4 см, KC = 6 см, AP = 8 см. Найдите периметр треугольника ABC

Answer 1

АР=АМ=8 -как касательные проведенные из одной точки к окружности, ВМ=ВК=4 как касательные..., КС=РС=6 - как касательные..., АВ=АМ+ВМ=8+4=12, ВС=ВК+КС=4+6=10, АС=АР+РС=8+6=14, периметр=12+10+14=36

Answer 2

Давайте обозначим следующие длины сторон треугольника ABC:

AB = a BC = b AC = c

Также у нас есть три точки касания окружности: M, K и P, и длины отрезков BM, KC и AP. Пусть BM = 4 см, KC = 6 см и AP = 8 см.

Так как точка касания касательной к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания, то мы можем провести перпендикуляры к сторонам треугольника в точках касания. Обозначим эти перпендикуляры как h1, h2 и h3 для сторон AB, BC и AC соответственно.

Теперь мы можем использовать свойство треугольника, что площадь треугольника можно выразить двумя способами: через стороны и высоту или через радиус вписанной окружности. Площадь треугольника ABC равна полупроизведению его сторон и радиуса вписанной окружности (S = (a + b + c) * r / 2), а также сумме площадей треугольников ABM, BCK и CAP:

\[S_{ABC} = S_{ABM} + S_{BCK} + S_{CAP}\]

Теперь мы знаем, что площадь треугольника равна полупроизведению его сторон и радиуса вписанной окружности:

\[S_{ABC} = \frac{(a + b + c) \cdot r}{2}\]

Также мы можем выразить площадь через сумму площадей треугольников ABM, BCK и CAP:

\[S_{ABC} = S_{ABM} + S_{BCK} + S_{CAP}\]

Теперь выразим каждую из этих площадей через длины сторон и высоты:

\[S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h_1\] \[S_{BCK} = \frac{1}{2} \cdot KC \cdot h_2\] \[S_{CAP} = \frac{1}{2} \cdot AP \cdot h_3\]

Теперь мы можем объединить эти выражения:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot KC \cdot h_2 + \frac{1}{2} \cdot AP \cdot h_3\]

Также, мы знаем, что радиус вписанной окружности можно выразить через площадь треугольника и полупериметр:

\[r = \frac{S_{ABC}}{s}\]

где \(s = \frac{a + b + c}{2}\).

Теперь мы можем выразить площадь треугольника через длины сторон и высоты:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot KC \cdot h_2 + \frac{1}{2} \cdot AP \cdot h_3 = \frac{(a + b + c) \cdot r}{2}\]

Подставим выражения для высот:

\[\frac{1}{2} \cdot BM \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot KC \cdot h_2 + \frac{1}{2} \cdot AP \cdot h_3 = \frac{(a + b + c) \cdot r}{2}\]

Теперь подставим известные значения: \(BM = 4\), \(KC = 6\), \(AP = 8\):

\[2 + 3h_2 + 4h_3 = \frac{(a + b + c) \cdot r}{2}\]

Теперь рассмотрим треугольники ABM, BCK и CAP. Для каждого из них можно воспользоваться теоремой Пифагора:

\[AB^2 = AM^2 + BM^2\] \[BC^2 = BK^2 + KC^2\] \[AC^2 = AP^2 + CP^2\]

Подставим значения и упростим:

\[a^2 = (a - h_1)^2 + 16\] \[b^2 = (b - h_2)^2 + 36\] \[c^2 = (c - h_3)^2 + 64\]

Теперь у нас есть система из четырех уравнений:

\[2 + 3h_2 + 4h_3 = \frac{(a + b + c) \cdot r}{2}\] \[a^2 = (a - h_1)^2 + 16\] \[b^2 = (b - h_2)^2 + 36\] \[c^2 = (c - h_3)^2 + 64\]

Из этой системы можно решить уравнения для \(h_1, h_2, h_3\) и \(r\). После этого периметр треугольника можно найти как сумму длин его сторон:

\[P_{ABC} = a + b + c\]

Это задача на систему уравнений, и ее решение потребует некоторых математических вычислений.