Question

Угол при меньшей основе трапеции равен 120 градусов, три стороны трапеции-- 6 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Answer 1

Пусть дана трапеция АВСЕ
АЕ || ВС
∠АВС = 120°

Решение:
основания трапеции не могут быть одинаковой длины, следовательно даны длины меньшего основания и боковых сторон:
АВ = ВС = СЕ = 6 см, значит трапеция равнобокая,
∠ВСЕ = ∠АВС = 120°

Опустим высоты ВМ и СК.
Высоты трапеции перпендикулярны основаниям ⇒ ВСКМ - прямоугольник, отсюда: МК = ВС = 6 см

Рассмотрим треугольники АВМ и ЕСК:
∠АВМ = ∠ЕСК = 120 - 90 = 30°
В прямоугольном треугольнике, катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы, отсюда:
АМ = АВ/2 = 6/2 = 3 см
КЕ = СЕ/2 = 6/2 = 3 см

АЕ = АМ + МК + КЕ = 3 + 6 + 3 = 12 см

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, отсюда:
РО = (ВС + АЕ)/2 = (6 + 12)/2 = 9 см

Ответ: 9 см.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится знание свойств трапеции. В трапеции средняя линия (или средняя база) - это отрезок, соединяющий середины двух параллельных сторон.

У нас есть трапеция с углом при меньшей основе в 120 градусов и тремя сторонами длиной 6 см. Предположим, что более короткая из параллельных сторон имеет длину a, а более длинная - b.

Так как у нас трапеция, у которой есть угол в 120 градусов, можем разделить её на два треугольника с высотой, которая будет линией, параллельной основаниям трапеции и проходящей через её вершину. Такой треугольник можно разбить на два равнобедренных треугольника, каждый из которых содержит угол в 60 градусов при основании.

Теперь мы можем использовать закон синусов для нахождения длин сторон трапеции. В каждом из равнобедренных треугольников сторона, противолежащая углу в 60 градусов, равна половине основания, то есть a/2.

Используем закон синусов для каждого из этих треугольников:

\(\frac{a/2}{\sin 60^\circ} = \frac{6}{\sin 30^\circ}\)

Из угла в 30 градусов мы знаем, что \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), а \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Отсюда получаем:

\(\frac{a}{\sqrt{3}} = 6\)

Таким образом, \(a = 6\sqrt{3}\) см.

Теперь, зная длину более короткой стороны \(a\) и длину более длинной стороны \(b\) (которая равна 6 см), мы можем найти среднюю линию трапеции как среднее арифметическое двух параллельных сторон:

\(Средняя\,линия = \frac{a + b}{2} = \frac{6\sqrt{3} + 6}{2} = 3(\sqrt{3} + 1)\) см.

Таким образом, средняя линия трапеции равна \(3(\sqrt{3} + 1)\) см.