Question

в равносторонний треугольник вписана окружность радиусом 4 см найдите сторону треугольника

Answer 1

Вспомним:
Центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения биссектрис.
 В правильном треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами.
Значит, высоты здесь еще и срединные перпендикуляры, точка пересечения которых - центр описанной окружности.
В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. 
Так как биссектрисы=медианы, и пересекаются они в одной точке, эта точка по свойству медиан делит медиану ( высоту) в отношении 2:1, считая от вершины угла.
Отрезок, равный 1/3 высоты из центра к стороне - радиус вписанной окружности. 
Вся высота равностороннего треугольника, следовательно, в 3 раза больше радиуса вписанной в него окружности. 

И вот собственно решение:
 h=4*3=12 см
Из формулы высоты равностороннего треугольника
 h=a*sin(60°)
а=h:sin(60°)
а=12:{(√3):2}=24:√3=(24√3):3=8√3 см
Ответ:сторона равностороннего треугольника с радиусом вписанной окружности 4 cм равна 8√3 см

Answer 2

Конечно, рад равностороннему треугольнику! В таком треугольнике все стороны равны между собой, а углы равны 60 градусам каждый. Если в равносторонний треугольник вписана окружность радиусом 4 см, то это значит, что расстояние от центра окружности (центра вписанной окружности) до любой стороны треугольника (а также до всех вершин) равно радиусу окружности, то есть 4 см.

В равностороннем треугольнике, вписанном в окружность, каждая из сторон треугольника является касательной к этой окружности. Таким образом, можно использовать свойства треугольника, образованного радиусом и касательной. Если мы проведем от вершины треугольника перпендикуляр к стороне треугольника, он будет делить сторону на две равные части, каждая из которых будет равна половине стороны треугольника.

Таким образом, если обозначить сторону треугольника за \(a\), а проведенный от вершины треугольника перпендикуляр к стороне за \(h\), то мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения \(h\) и \(a\).

Рассмотрим треугольник, образованный половиной стороны треугольника (\(a/2\)), проведенным от вершины до центра окружности (\(r\)), и радиусом вписанной окружности (\(R\)):

\[ h^2 + (a/2)^2 = R^2 \]

Мы знаем, что радиус вписанной окружности (\(R\)) равен 4 см:

\[ h^2 + (a/2)^2 = 4^2 \]

Из свойств равностороннего треугольника мы также знаем, что \(h\) равно высоте треугольника, которая может быть найдена через теорему Пифагора внутри треугольника с высотой, стороной треугольника и его половиной:

\[ h^2 = a^2 - (a/2)^2 = 3(a/2)^2 \]

Теперь мы можем выразить \(h\) через \(a\):

\[ h^2 = 3(a/2)^2 \implies h = \sqrt{3} \cdot (a/2) \]

Подставляем это значение \(h\) в уравнение:

\[ (\sqrt{3} \cdot a/2)^2 + (a/2)^2 = 4^2 \]

Упрощаем и находим \(a\):

\[ 3a^2/4 + a^2/4 = 16 \implies 4a^2/4 = 16 \implies a^2 = 16 \cdot 4 \implies a = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \]

Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 8 см.