Question

Диагонали ромба АВСД пересекаются в точке О и равны 4 и 19.Найдите скалярное произведение векторов АО и ВО

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами ромба и векторами.

Для начала рассмотрим ромб ABCD, где диагонали пересекаются в точке O. Давайте обозначим векторы:

- Пусть \(\overrightarrow{AO}\) - вектор, направленный от точки A к точке O. - Пусть \(\overrightarrow{BO}\) - вектор, направленный от точки B к точке O.

Теперь мы знаем, что диагонали ромба пересекаются в точке O. Также, по свойствам ромба, диагонали равны между собой. То есть:

\[|\overline{AC}| = |\overline{BD}|\]

Теперь подставим известные значения:

\[4 = 19\]

Это, очевидно, не верно. Ошибочно. Давайте вернемся к задаче и попробуем ещё раз.

Допустим, длина диагонали AC равна 4, а длина диагонали BD равна 19. Теперь мы можем воспользоваться свойствами ромба для нахождения длин векторов \(\overrightarrow{AO}\) и \(\overrightarrow{BO}\).

Свойство ромба гласит, что диагонали делят углы ромба пополам. Таким образом, у нас получаются четыре прямых угла по \(90^\circ\) каждый, и они делятся диагоналями.

Теперь мы знаем, что у нас есть прямоугольный треугольник AOB (треугольник, образованный векторами \(\overrightarrow{AO}\) и \(\overrightarrow{BO}\)). Из свойств прямоугольных треугольников мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длин векторов:

\[|\overrightarrow{AO}|^2 + |\overrightarrow{BO}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2\]

где \(|\overrightarrow{AB}|\) - длина стороны ромба.

\[|\overrightarrow{AO}|^2 + |\overrightarrow{BO}|^2 = (\frac{|\overline{AC}|}{2})^2 + (\frac{|\overline{BD}|}{2})^2\]

Подставим известные значения:

\[|\overrightarrow{AO}|^2 + |\overrightarrow{BO}|^2 = (\frac{4}{2})^2 + (\frac{19}{2})^2\]

\[|\overrightarrow{AO}|^2 + |\overrightarrow{BO}|^2 = 2^2 + \frac{19^2}{2^2}\]

\[|\overrightarrow{AO}|^2 + |\overrightarrow{BO}|^2 = 4 + \frac{361}{4}\]

\[|\overrightarrow{AO}|^2 + |\overrightarrow{BO}|^2 = \frac{4 \cdot 4 + 361}{4}\]

\[|\overrightarrow{AO}|^2 + |\overrightarrow{BO}|^2 = \frac{377}{4}\]

Теперь у нас есть сумма квадратов длин векторов \(\overrightarrow{AO}\) и \(\overrightarrow{BO}\). Чтобы найти скалярное произведение, нам нужно вычесть из этой суммы произведение длин этих векторов на косинус угла между ними:

\[\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{BO} = |\overrightarrow{AO}| \cdot |\overrightarrow{BO}| \cdot \cos(\theta)\]

Где \(\theta\) - угол между векторами. Мы можем найти косинус угла, используя следующее соотношение:

\[\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{BO}}{|\overrightarrow{AO}| \cdot |\overrightarrow{BO}|}\]

Подставим известные значения:

\[\cos(\theta) = \frac{\frac{377}{4}}{\sqrt{\frac{377}{4}}} \cdot \sqrt{\frac{377}{4}}\]

\[\cos(\theta) = \frac{377}{4 \cdot \sqrt{\frac{377}{4}}}\]

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов:

\[\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{BO} = \frac{377}{4 \cdot \sqrt{\frac{377}{4}}} \cdot \sqrt{\frac{377}{4}}\]

\[\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{BO} = \frac{377}{4}\]

Итак, скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AO}\) и \(\overrightarrow{BO}\) равно \(\frac{377}{4}\).