Question

Две окружности касаются внутренне в точке В. АВ - диаметр большей окружности. Через точку А проведены две хорды, которые касаются меньшей окружности. Угол между хордами равен 60 градусов. найдите длины этих хорд, если радиус большей окружности равен R.

Answer 1

Прямоугольные треугольники АКС и АМС равны т.к. АК=АМ (как касательные из одной точки) и АС - общая сторона, значит ∠КАС=МАС.

Прямоугольные тр-ки АДВ и АЕВ равны т.к. ∠ДАВ=∠ЕАВ и сторона АВ общая, значит АД=АЕ.

В равнобедренном треугольнике АДЕ угол при вершине равен 60°, значит он правильный, вписанный в окружность с центром в точке О и радиусом R.

Для правильного тр-ка R=a/√3 ⇒ a=R√3. 
Хорды АД и АЕ равны а. 
Ответ: R√3.

Answer 2

Задача

Дано: - Две окружности, которые касаются внутренне в точке В. - АВ - диаметр большей окружности. - Через точку А проведены две хорды, которые касаются меньшей окружности. - Угол между хордами равен 60 градусов. - Радиус большей окружности равен R.

Необходимо найти длины этих хорд.

Решение

Шаг 1: Обозначим точку касания большей и меньшей окружностей за С. Поскольку АВ является диаметром большей окружности, то точка С будет находиться на середине отрезка АВ.

Шаг 2: Обозначим радиус меньшей окружности за r.

Шаг 3: Обозначим длины хорд, касающихся меньшей окружности, за x и y.

Шаг 4: Используем свойство касательной, которое говорит, что касательная к окружности, проведенная из точки касания, является перпендикулярной радиусу, проведенному из этой же точки касания.

Шаг 5: Из свойства касательной следует, что треугольник САх является прямоугольным.

Шаг 6: Поскольку угол между хордами равен 60 градусов, то угол САх также равен 60 градусов.

Шаг 7: Используя геометрические свойства треугольника, можем найти длину хорды x.

Шаг 8: Рассмотрим треугольник САу, где у - серединная точка хорды y.

Шаг 9: Треугольник САу также является прямоугольным, поскольку угол между хордами равен 60 градусов.

Шаг 10: Используя геометрические свойства треугольника, можем найти длину хорды y.

Расчет

Шаг 1: Точка С будет находиться на середине отрезка АВ. Значит, СА = АС = ВС = ВА/2 = R.

Шаг 2: Обозначим радиус меньшей окружности за r.

Шаг 3: Обозначим длины хорд, касающихся меньшей окружности, за x и y.

Шаг 4: Треугольник САх является прямоугольным. Значит, у нас есть прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна R, а угол между гипотенузой и катетом равен 60 градусов. Используя тригонометрический тангенс, можем записать:

tan(60) = x / r

Шаг 5: Треугольник САу также является прямоугольным. Значит, у нас есть прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна R, а угол между гипотенузой и катетом равен 60 градусов. Используя тригонометрический тангенс, можем записать:

tan(60) = y / (R - r)

Решение уравнений

Теперь, когда у нас есть два уравнения, мы можем решить их, чтобы найти значения x и y.

Уравнение 1:

tan(60) = x / r

√3 = x / r

x = √3 * r

Уравнение 2:

tan(60) = y / (R - r)

√3 = y / (R - r)

y = √3 * (R - r)

Таким образом, длины хорд x и y равны:

x = √3 * r

y = √3 * (R - r)

Ответ: Длина хорды x равна √3 * r, а длина хорды y равна √3 * (R - r).