Question

Окружности О₁, О₂, О₃ радиусов 1, 1 и 2 см соответственно попарно касаются друг друга внешним образом. А - точка касания О₁ и О₃, В - точка касания О₂ и О₃. Через точку В проведена касательная к О₃. Пусть С - ближайшая к В точка пересечения этой касательной с окружностью О₁. Найти длину хорды , отсекаемой окружностью О₃ на прямой АС.

Answer 1

Решение и чертеж прицеплены в фотках.

Answer 2

Задача: Окружности О₁, О₂ и О₃ радиусов 1, 1 и 2 см соответственно попарно касаются друг друга внешним образом. А - точка касания О₁ и О₃, В - точка касания О₂ и О₃. Через точку В проведена касательная к О₃. Пусть С - ближайшая к В точка пересечения этой касательной с окружностью О₁. Найти длину хорды, отсекаемой окружностью О₃ на прямой АС.

Решение:

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойства касательных и хорд, а также теорему Пифагора.

1. Обозначим точку пересечения касательной к О₃ через В и окружности О₁ через О₁.

2. Так как окружности О₁ и О₃ касаются друг друга внешним образом, то радиусы О₁ и О₃ и отрезок ВО₃ образуют прямоугольный треугольник. Обозначим отрезок ВО₃ через h.

3. Используя теорему Пифагора, найдем длину отрезка ВО₁: ВО₁² = ВО₃² - О₁О₃²

4. Так как радиусы О₁ и О₃ равны 1 и 2 см соответственно, то О₁О₃ = 1 + 2 = 3 см. Подставим эту информацию в предыдущее уравнение: ВО₁² = ВО₃² - 3² ВО₁² = ВО₃² - 9

5. Теперь нам нужно найти длину отрезка АС. Отрезок АС - это хорда, которую отсекает окружность О₃ на прямой АС. Обозначим длину отрезка АС через x.

6. Используя свойство касательной и хорды, мы можем установить следующее соотношение: (1/2) * x * h = (1/2) * h * (h + x)

7. Разделим это уравнение на (1/2) * h: x = h + x

8. Разделим на x: 1 = 1 + (h / x)

9. Вычтем 1 из обеих сторон: 0 = (h / x)

10. Нам известно, что h ≠ 0, поэтому можем сократить на h: 0 = 1 / x

11. Из этого уравнения следует, что x = ∞, что означает, что отрезок АС имеет бесконечную длину.

Ответ: Длина хорды, отсекаемой окружностью О₃ на прямой АС, равна бесконечности.