Question

Докажите что четырехугольник с вершинами А(0;1) В(4;3) С(5;1) Д(1;-1) является прямоугольником

Answer 1

Сначала по формуле доказываешь что АД=ВС, затем АБ=СД и так как у прямоугольника противоположные стороны равны, следует АВСД прямоцголник

Answer 2

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD с вершинами A(0, 1), B(4, 3), C(5, 1), D(1, -1) является прямоугольником, нужно проверить несколько условий.

1. Длины сторон: - AB: \( \sqrt{(4-0)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \) - BC: \( \sqrt{(5-4)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \) - CD: \( \sqrt{(1-5)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} \) - DA: \( \sqrt{(0-1)^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \)

2. Проверка прямых углов: - Вычислите векторы AB и BC: - Вектор AB: \(\vec{AB} = \langle 4-0, 3-1 \rangle = \langle 4, 2 \rangle\) - Вектор BC: \(\vec{BC} = \langle 5-4, 1-3 \rangle = \langle 1, -2 \rangle\) - Проверьте, являются ли эти векторы перпендикулярными. Если их скалярное произведение равно 0, то векторы перпендикулярны. - \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) = 4 - 4 = 0\)

Таким образом, длины сторон удовлетворяют условиям прямоугольника, а векторы AB и BC перпендикулярны, что подтверждает, что угол между этими сторонами прямой. Следовательно, четырехугольник ABCD является прямоугольником.