Question

Сторона квадрата ABCD равна 2а. Через сторону AD проведена плоскость альфа на расстоянии альфа от точки B. а) Найдите расстояние от точки С до плоскости альфа. б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла BADM, M принадлежит альфа. в) Найдите котангенс угла между плоскостью квадрата и плоскостью альфа.

Answer 1

Решение приведено во вложении
Аккуратно рисовать я не умею

Answer 2

Для более наглядного понимания сначала опишем ситуацию. У нас есть квадрат ABCD, где сторона AB равна 2а. Через сторону AD проведена плоскость α на расстоянии α от точки B.

а) Найдем расстояние от точки C до плоскости α. Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле:

\[d = \dfrac{\left|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D\right|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

где (x₁, y₁, z₁) - координаты точки C, A, B, C - коэффициенты уравнения плоскости α (Ax + By + Cz + D = 0).

Так как плоскость α параллельна стороне AD, она задается уравнением вида x = const. Таким образом, A = 1, B = C = 0, D = -α.

Теперь подставим значения в формулу:

\[d = \dfrac{\left|1 \cdot x_1 + 0 \cdot y_1 + 0 \cdot z_1 - \alpha\right|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}}\]

\[d = \dfrac{\left|x_1 - \alpha\right|}{1} = \left|x_1 - \alpha\right|\]

Ответ: Расстояние от точки C до плоскости α равно \(\left|x_1 - \alpha\right|\).

б) Теперь покажем на рисунке угол двугранного угла BADM, где M принадлежит плоскости α.

Сначала заметим, что угол BADM — это угол между стороной AD и линией BM. Поскольку BM лежит в плоскости α и параллелен стороне AD, угол BADM является прямым углом.

в) Найдем котангенс угла между плоскостью квадрата и плоскостью α. Котангенс угла между двумя параллельными плоскостями равен отношению расстояния между плоскостями к длине стороны квадрата.

Как мы уже выяснили в пункте (а), расстояние между плоскостью и точкой C равно \(\left|x_1 - \alpha\right|\), а сторона квадрата AB равна 2а.

Котангенс угла \(\theta\) между плоскостью и стороной квадрата будет равен:

\[ \cot(\theta) = \dfrac{\left|x_1 - \alpha\right|}{2a} \]

Ответ: Котангенс угла между плоскостью квадрата и плоскостью α равен \(\dfrac{\left|x_1 - \alpha\right|}{2a}\).