Question

Знайдіть площу осьового перерізу циліндра, діагональ якого нахилена до площини основи під кутом альфа і дорівнює 2l.

Answer 1

Прямоугольный Δ со сторонами: катет Н - высота цилиндра, катет d- диаметр цилиндра, гипотенуза= 2l -диагональ осевого сечения цилиндра, α угол между диагональю и плоскостью основания
cosα=d/2l, d=2l * cosα
sinα=H/ 2l,  H=2l *sinα
S ос. сеч. =H*d
S=2 l *cosα*2 l *sinα=2 l ² *sin2α

Answer 2

Для того чтобы найти площу осьового перерізу циліндра з діагоналлю, нахиленою під кутом \( \alpha \) і дорівнює \( 2l \), де \( l \) - довжина циліндра, скористаємося геометричними властивостями.

Спочатку зобразимо ситуацію. Нехай \( ABCD \) - циліндр, \( O \) - його центр, а \( PQR \) - його осьовий переріз.

C__________D
/|         /|
/ |        / |
A__|_______B  |
| P|_______|__|Q
| /        | /
|/         |/

Нам дано, що діагональ \( PQ \) нахилена до площини основи під кутом \( \alpha \) і дорівнює \( 2l \).

Також відомо, що діагональ циліндра - це відрізок, який з'єднує центр основи (точку \( O \)) з точкою \( M \) на краю верхньої окружної основи циліндра.

Для зручності позначимо через \( R \) радіус верхньої основи циліндра.

Таким чином, \( PM = 2R \) (оскільки \( PQ \) діагональ циліндра, а \( 2l \) - відома довжина цієї діагоналі).

Також, \( \angle PMO = \alpha \) (оскільки діагональ нахилена під кутом \( \alpha \) до площини основи).

Знаючи сторону \( PM \) та кут \( \angle PMO \), можемо знайти площу трикутника \( PMO \) за формулою площі трикутника:

\[ S_{PMO} = \frac{1}{2} \cdot PM \cdot MO \cdot \sin(\angle PMO) \]

Але \( MO = R \), тому:

\[ S_{PMO} = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot R \cdot \sin(\alpha) \]

\[ S_{PMO} = R^2 \cdot \sin(\alpha) \]

Тепер ми знаходимо площу трикутника \( PMO \), яка представляє собою частину площі осьового перерізу циліндра.

Оскільки у циліндра є дві такі площі, знайдемо площу всього осьового перерізу циліндра:

\[ S_{\text{ос. пер.}} = 2 \cdot S_{PMO} \]

\[ S_{\text{ос. пер.}} = 2 \cdot R^2 \cdot \sin(\alpha) \]

Отже, отримали вираз для площі осьового перерізу циліндра в залежності від радіуса верхньої основи та кута нахилу діагоналі до площини основи.