Question

Периметры двух подобных многоугольников относятся как 1:3. Площадь большего многоуголника равна 81. Найдите площадь меньшего многоуголника

Answer 1

Так как периметры различаются в 3 раза, то и стороны тоже.

Значит площади будут отличаться в 9 раз.

81:9 = 9 - площадь меньшего многоугольника

Answer 2

Давайте обозначим периметры двух подобных многоугольников как \( P_1 \) и \( P_2 \), а их площади как \( S_1 \) и \( S_2 \). По условию задачи мы знаем, что отношение периметров равно 1:3, что можно записать как:

\[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{1}{3} \]

Также, известно, что площадь большего многоугольника \( S_1 \) равна 81. Если \( k \) - коэффициент подобия (отношение подобия), то отношение площадей подобных фигур будет равно квадрату коэффициента подобия:

\[ \frac{S_1}{S_2} = k^2 \]

Мы знаем, что \( S_1 = 81 \). Подставим это значение в уравнение:

\[ \frac{81}{S_2} = k^2 \]

Теперь нам нужно найти коэффициент подобия \( k \). Мы также знаем, что отношение периметров равно 1:3:

\[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{1}{3} \]

Периметр многоугольника пропорционален длине его стороны, так что мы можем написать:

\[ \frac{a_1 + b_1 + c_1 + \ldots}{a_2 + b_2 + c_2 + \ldots} = \frac{1}{3} \]

где \(a_1, b_1, c_1, \ldots\) - длины сторон большего многоугольника, а \(a_2, b_2, c_2, \ldots\) - длины сторон меньшего многоугольника.

Теперь, используя подобие многоугольников, мы знаем, что отношение длин соответствующих сторон также равно коэффициенту подобия \( k \):

\[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \ldots = k \]

Таким образом, у нас есть система уравнений с двумя уравнениями:

\[ \begin{align*} \frac{a_1 + b_1 + c_1 + \ldots}{a_2 + b_2 + c_2 + \ldots} &= \frac{1}{3} \quad \text{(1)} \\ \frac{81}{S_2} &= k^2 \quad \text{(2)} \end{align*} \]

Решив эту систему уравнений, мы сможем найти \(S_2\) - площадь меньшего многоугольника. В этом случае, важно учесть, что многоугольники подобны, но не обязательно равны, поэтому дополнительно нужны данные о конкретных значениях сторон для точного решения задачи.