Question

Дан тр-к АВС. АВ=ВС=4. АМ=3-медиана к стороне(не к основанию!!!) Найти стороны АВС. Помогите, очень срочно!!!

Answer 1

Прикрепляю листочек , там все решение ;

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться медианой треугольника и свойствами треугольников.

По условию дан треугольник ABC, где AB = BC = 4 и AM - медиана к стороне BC (не к основанию).

Медиана AM делит сторону BC пополам и соединяет ее середину с вершиной A. Так как AM - медиана, то BM = MC.

Теперь, обозначим точку, в которой пересекаются медиана AM и отрезок BV, за P. Точка P является серединой отрезка BV, так как AM делит сторону BC пополам.

Таким образом, BP = PV.

Теперь мы имеем прямоугольный треугольник BMP, где BM = MC, BP = PV и угол BMP прямой.

Используем теорему Пифагора в треугольнике BMP:

\[MP^2 = BM^2 + BP^2.\]

Так как BM = MC и BP = PV, заменяем значения:

\[MP^2 = \left(\frac{1}{2} BC\right)^2 + \left(\frac{1}{2} BC\right)^2.\]

Решаем:

\[MP^2 = \frac{1}{4} BC^2 + \frac{1}{4} BC^2 = \frac{1}{2} BC^2.\]

Теперь возвращаемся к треугольнику ABC. Используем теорему Пифагора для треугольника ABC:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2.\]

Подставляем AB = BC = 4:

\[AC^2 = 4^2 + BC^2 = 16 + BC^2.\]

Теперь мы знаем, что \(MP^2 = \frac{1}{2} BC^2\), поэтому:

\[AC^2 = 16 + 2MP^2.\]

Теперь выражаем MP через AM и BM:

\[MP = \sqrt{AM^2 - \frac{1}{4} BC^2}.\]

Используем это выражение в формуле для AC:

\[AC^2 = 16 + 2\left(AM^2 - \frac{1}{4} BC^2\right).\]

Подставляем AB = BC = 4:

\[AC^2 = 16 + 2\left(AM^2 - 4\right).\]

Упрощаем:

\[AC^2 = 16 + 2AM^2 - 8.\]

\[AC^2 = 2AM^2 + 8.\]

Теперь, учитывая, что AM = 3 (по условию), подставляем и решаем:

\[AC^2 = 2(3^2) + 8 = 18 + 8 = 26.\]

И, наконец, извлекаем квадратный корень:

\[AC = \sqrt{26}.\]

Таким образом, стороны треугольника ABC равны \(AB = BC = 4\) и \(AC = \sqrt{26}\).