Question

Площадь основания и диогонального сечения правильной четырехугольной пирамиды равна 12дм^2. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.

Answer 1

Ну можно попробовать решить)
сторона основания (квадрата)=v12 дм
диагональ основания=v(v12^2+v12^2)=v(12+12)=v24 дм
высота пирамиды=12*2/v24=24/v24 дм
половина стороны основания=v12/2 дм
апофема=v((24/v24)^2+(v12/2)^2)=v(24+3)=v27 дм
площадь одной грани боковой=(v27*v12)/2=v324/2=18/2=9 дм.кв
площадь боковой поверхности=9*4=36 дм.кв.

Answer 2

Давайте обозначим данную правильную четырехугольную пирамиду. Пусть \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания, \(S_{\text{диаг}}\) - площадь диагонального сечения, \(S_{\text{бок}}\) - площадь боковой поверхности.

Из условия задачи у нас есть, что:

\[S_{\text{осн}} + S_{\text{диаг}} = 12 \, \text{дм}^2.\]

Теперь давайте воспользуемся свойствами правильной четырехугольной пирамиды. У неё боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Также, пирамида разбивается на четыре равнобедренных треугольника, с вершиной в вершине пирамиды и основанием, равным стороне основания.

Пусть \(a\) - длина стороны основания, \(h\) - высота пирамиды, а \(l\) - длина боковой грани.

Тогда, площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\) выражается формулой:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot P_{\text{бок}} \cdot l,\]

где \(P_{\text{бок}}\) - периметр боковой грани.

Периметр боковой грани равен сумме длины стороны основания и длины боковой грани:

\[P_{\text{бок}} = a + l.\]

Теперь мы можем записать выражение для площади боковой поверхности:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot (a + l) \cdot l.\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[S_{\text{осн}} + S_{\text{диаг}} = 12 \, \text{дм}^2,\] \[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot (a + l) \cdot l.\]

Мы знаем, что диагональное сечение равнобедренного треугольника (основания пирамиды) также разбивает его на два равных равнобедренных треугольника. Таким образом, \(S_{\text{диаг}}\) можно выразить через сторону основания и длину боковой грани:

\[S_{\text{диаг}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l.\]

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

\[S_{\text{осн}} + \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = 12 \, \text{дм}^2.\]

Теперь, если мы решим это уравнение относительно \(S_{\text{осн}}\), мы сможем выразить её через сторону основания \(a\) и длину боковой грани \(l\).

\[S_{\text{осн}} = 12 - \frac{1}{2} \cdot a \cdot l.\]

Теперь мы можем подставить это значение во второе уравнение для \(S_{\text{бок}}\):

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot (a + l) \cdot l.\]

Таким образом, мы получили выражение для площади боковой поверхности пирамиды в терминах стороны основания \(a\) и длины боковой грани \(l\).