Question

Одна из сторон треугольника лежит в плоскости альфа. Докажите, что прямая, проходящая через середины двух других сторон треугольника, параллельна плоскости альфа. С чертежом пожалуйста

Answer 1

МК- средняя линия треугольника АВС
МК || АС
МК  параллельна плоскости, так как она параллельна прямой АС, лежащей в этой плоскости

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, рассмотрим треугольник ABC, где AB и AC - стороны треугольника, лежащие в плоскости α. Пусть M и N - середины сторон AB и AC соответственно.

Для начала, построим плоскость β, проходящую через точки M и N. Поскольку M и N являются серединами сторон треугольника, отрезки AM и AN равны по длине отрезкам MB и NC соответственно.

Теперь рассмотрим прямую, проходящую через точку M и параллельную плоскости α. Пусть она пересекает плоскость α в точке P. Так как прямая параллельна плоскости α, то расстояние от точки P до плоскости α будет постоянным.

Из построения видно, что отрезок AM лежит в плоскости α. Поэтому точка P, лежащая на прямой, параллельной плоскости α, должна лежать на отрезке AM. Аналогично, можно показать, что P должна лежать и на отрезке AN.

Таким образом, точка P должна лежать одновременно и на отрезке AM, и на отрезке AN. Но это возможно только в случае, когда P совпадает с точкой M. Следовательно, прямая, проходящая через середины сторон треугольника, параллельна плоскости α.

Чертеж для наглядности доказательства:

            A
           / \
          /   \
      M /_____\ N
        \     /
         \   /
          \ /
           B

Таким образом, мы доказали, что прямая, проходящая через середины двух сторон треугольника, параллельна плоскости α.