Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА,НУ ПРЯМ ПО ЗАРЕЗ НУЖНА формулировки!:)1)Докажите,что отрезки касательных к окружности,проведенных из одной точки,равны и составляют равные углы с прямой,проходящей через эту точку и центр окружности2)сформулируйте т докажите теорему,обратную теореме о свойстве касательной.3)Объясните,как через данную точку окружности провести касательную к этой окружности

Answer 1

1. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Дано: ω (О; ОА), СА и СВ - касательные (А и В - точки касания).
Доказать: СА = СВ, ∠АСО = ∠ВСО.
Доказательство:
Проведем радиусы в точки касания. Они перпендикулярны касательным (по свойству касательной).
∠САО = ∠СВО = 90°,
ОА = ОВ как радиусы,
ОС - общая гипотенуза для треугольников САО и СВО, ⇒
ΔСАО = ΔСВО по катету и гипотенузе.
Следовательно, СА = СВ и ∠АСО = ∠ВСО.
Доказано.

2. Теорема: если прямая перпендикулярна радиусу и проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, то она является касательной к окружности.

Дано: ω (О; ОА), прямая а, а⊥ОА, А∈а.
Доказать: а - касательная к окружности.
Доказательство:
Радиус перпендикулярен прямой а. Перпендикуляр - это кратчайшее расстояние от центра окружности до прямой. Значит, расстояние от центра до любой другой точки прямой будет больше, чем до точки А, и значит все остальные точки прямой лежат вне окружности.
Итак, прямая а и окружность имеют только одну общую точку А. Значит, прямая а - касательная к окружности.

3.  Соединяем данную точку А с центром окружности.
Проводим перпендикуляр к полученному радиусу, проходящий через данную точку. Для этого на луче ОА откладываем отрезок АВ = ОА.
Строим две окружности равного радиуса (произвольного, но больше половины отрезка ОВ) с центрами в точках О и В.
Через точки пересечения окружностей проводим прямую а. Это и есть прямая, перпендикулярная радиусу ОА.
Прямая а  - касательная к окружности.

Answer 2

1) Докажите, что отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Для доказательства этого утверждения, рассмотрим следующую ситуацию:

Пусть у нас есть окружность с центром в точке O и радиусом r. Пусть A и B - точки на окружности, а C - точка, из которой проведены касательные к окружности. Мы хотим доказать, что отрезки AC и BC равны и составляют равные углы с прямой AB.

Доказательство: 1. Проведем радиусы OA и OB. Так как радиусы, проведенные к точке касания, перпендикулярны касательной, то OA и OB будут перпендикулярны касательным AC и BC соответственно. 2. Так как OA и OB - радиусы окружности, то они равны между собой (OA = OB = r). 3. Треугольники OAC и OBC являются прямоугольными, так как углы между радиусами и касательными являются прямыми углами. 4. По свойству прямоугольных треугольников, гипотенузы этих треугольников равны между собой. То есть, AC = BC. 5. Так как AC = BC и OA = OB, то треугольники OAC и OBC являются равнобедренными. 6. В равнобедренных треугольниках углы при основании равны. То есть, углы AOC и BOC равны между собой. 7. Углы AOC и BOC - это углы между касательными и прямой AB, проходящей через точку C и центр окружности O. Таким образом, отрезки AC и BC равны и составляют равные углы с прямой AB.

Таким образом, мы доказали, что отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.