Question

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов ADC и DAB пересекаются в точке O.Докажите что <AOD=90

Answer 1

Данные биссектрисы будут являтся секущими при параллельных прямых в парал-мме. Значит можем выделить накрестлежащие равные углы: AFD=FDP=ADF. Из этого следует, что треугольник ADF-равнобедренный т е АО-биссектри, медиана и высота, а высота образует с основанием треугольника (DF) прямые углы!

Answer 2

рассмотрим треугольник AOD. сумма двух углов OAD и ODA равна 180/2=90

(cумма углов при одной стороне) следовательно угол AOD - прямой

Answer 3

Для доказательства того, что угол AOD равен 90 градусов, воспользуемся свойствами параллелограмма и определением биссектрисы угла.

Поскольку ABCD - параллелограмм, то AD || BC и AB || DC. Из этого следует, что углы ADC и DAB смежные и сумма их равна 180 градусов:

Пусть биссектриса угла ADC пересекает AD в точке E, а биссектриса угла DAB пересекает AD в точке F.

Так как OE является биссектрисой угла ADC, то угол AOE равен половине угла ADC. Аналогично, OF является биссектрисой угла DAB, поэтому угол DOF равен половине угла DAB.

Следовательно, углы AOE и DOF равны между собой:

Также, углы AOE и DOF являются вертикально противоположными углами, так как лежат на пересекающихся прямых AO и DO:

Из этих двух равенств следует, что угол AOE равен углу DOF:

Таким образом, углы AOE и DOF равны и являются вертикально противоположными углами. Из этого следует, что треугольник AOD является прямоугольным, и его прямой угол равен 90 градусов: