Question

В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов. Найдите высоту пирамиды и площадь основания

Answer 1

.................................

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства равнобедренного треугольника и теорему Пифагора.

Обозначим вершину пирамиды как A, а середину основания как M. Так как у нас равнобедренный треугольник ABC (где AB = AC = 10 см, BC = 12 см), то AM будет медианой, а значит, разделит BC пополам. Таким образом, BM = MC = 6 см.

Теперь мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник ABM. Треугольник AMB прямоугольный, так как AM — медиана, и мы знаем, что BM = 6 см, AB = AC = 10 см. Применим теорему Пифагора:

\[AM^2 = AB^2 - BM^2\]

\[AM^2 = 10^2 - 6^2\]

\[AM^2 = 100 - 36\]

\[AM^2 = 64\]

\[AM = 8\]

Теперь у нас есть длина медианы AM. Так как в треугольнике AMB у нас прямой угол при B, то мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту пирамиды (от вершины A до середины основания M):

\[h = \sqrt{AC^2 - AM^2}\]

\[h = \sqrt{10^2 - 8^2}\]

\[h = \sqrt{100 - 64}\]

\[h = \sqrt{36}\]

\[h = 6\]

Таким образом, высота пирамиды равна 6 см.

Теперь найдем площадь основания пирамиды. Основание — это равнобедренный треугольник ABC. Мы можем использовать формулу площади равнобедренного треугольника:

\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{4} \sqrt{4a^2 - b^2}\]

где \(a\) - длина основания (стороны AB или AC), \(b\) - боковая сторона (BC).

\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{4} \sqrt{4 \cdot 10^2 - 12^2}\]

\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{4} \sqrt{400 - 144}\]

\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{4} \sqrt{256}\]

\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{4} \cdot 16\]

\[S_{\text{осн}} = 4\]

Таким образом, площадь основания пирамиды равна 4 квадратным сантиметрам.