Question

Стороны треугольника равны 26, 28 и 30. Точка M удалена от плоскости треугольника и расположена на одинаковом расстоянии от его сторон. Найдите это расстояние

Answer 1

решение приведено во вложении

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством параллельности плоскостей. Точка \( M \), находящаяся на одинаковом расстоянии от сторон треугольника, лежит в плоскости, параллельной этому треугольнику и равноудалённой от его сторон.

Так как \( M \) находится на равном расстоянии от сторон треугольника, \( M \) лежит в центре его описанной окружности.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона:

\[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \]

где \( p \) - полупериметр треугольника, \( a, b, c \) - длины его сторон.

Для треугольника со сторонами 26, 28 и 30, найдем сначала полупериметр:

\[ p = \frac{26 + 28 + 30}{2} = 42 \]

Теперь вычислим площадь:

\[ S = \sqrt{42(42 - 26)(42 - 28)(42 - 30)} \] \[ S = \sqrt{42 \cdot 16 \cdot 14 \cdot 12} \] \[ S = \sqrt{42 \cdot 16 \cdot 14 \cdot 12} \] \[ S = \sqrt{42 \cdot 16 \cdot 14 \cdot 12} \] \[ S = \sqrt{2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2^4 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 3} \] \[ S = 4 \cdot 7 \cdot 2^2 \cdot 3 = 336 \]

Площадь треугольника равна 336 квадратным единицам.

Теперь выразим площадь треугольника через радиус его описанной окружности \( R \):

\[ S = \frac{abc}{4R} \]

где \( a, b, c \) - стороны треугольника, \( R \) - радиус описанной окружности.

Подставим известные значения и найдем радиус описанной окружности:

\[ 336 = \frac{26 \cdot 28 \cdot 30}{4R} \] \[ R = \frac{26 \cdot 28 \cdot 30}{4 \cdot 336} = \frac{7280}{1344} \approx 5.4167 \]

Теперь мы знаем радиус описанной окружности. Расстояние от точки \( M \) до плоскости треугольника равно радиусу описанной окружности. Таким образом, расстояние от точки \( M \) до плоскости треугольника составляет приблизительно 5.4167 единиц.