Question

Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность описанную около треугольника ABC в точке M.Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KMC, Если AC=6; BC=5; AB=9

Answer 1

Есть такой прямой метод - треугольники ABK и KMC подобны, поскольку ∠ABC = ∠AMC; (у этих треугольников еще одна пара углов - вертикальные, значит все углы равны); при этом длину биссектрисы AK легко найти: по свойству биссектрисы BK/CK = 9/6 = 3/2; откуда BK = 3, CK = 2; AK^2 = AB*AC - BK*CK = 5*6 - 3*2 = 48; AK = 4√3; отсюда можно найти все стороны CKM (KM = √3/2; CM = 3√3/2, CK = 2), найти площадь по формуле Герона и применить R = abc/4S;
Ничего этого я делать не буду :)) пригодится только CK = 2; и ∠ABC = ∠AMC; я обозначу этот угол α;
Вместо этого я найду площадь треугольника ABC.
Стороны 9, 5, 4, полупериметр p = (9 + 5 + 6)/2 = 10; p - 9 = 1; p - 5 = 5; p - 6 = 4;
S^2 = 10*1*5*4 = 200; S = 10√2; 
Отсюда 10√2 = 9*5*sin(α)/2; sin(α) = 4√2/9; 
Отсюда по теореме синусов искомый радиус равен R =  CK/(2*sin(α)) = 9√2/8;

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства биссектрисы угла и окружности, описанной около треугольника. Давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Найдите длину отрезка BK

Для начала, давайте найдем длину отрезка BK, который представляет собой пересечение биссектрисы угла A с стороной BC.

Мы можем использовать теорему биссектрисы, которая гласит: "Если биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, то эти отрезки пропорциональны друг другу и пропорциональны смежным сторонам треугольника".

Таким образом, мы можем записать следующее соотношение для треугольника ABC:

AB/BC = AK/KC

Подставляя известные значения, получим:

9/5 = AK/KC

Теперь мы можем решить эту пропорцию, чтобы найти длину отрезка BK:

AK = (AB * KC) / BC AK = (9 * 5) / 14 AK = 45/14

Таким образом, длина отрезка BK равна 45/14.

Шаг 2: Найдите длину отрезка KC

Мы уже знаем длину отрезка BK, поэтому мы можем использовать его, чтобы найти длину отрезка KC.

KC = BC - BK KC = 5 - 45/14 KC = (70 - 45)/14 KC = 25/14

Таким образом, длина отрезка KC равна 25/14.

Шаг 3: Найдите длину отрезка KM

Теперь, когда у нас есть длины отрезков AK и KC, мы можем вычислить длину отрезка KM.

Для этого мы можем использовать свойства окружности, описанной около треугольника. Одно из таких свойств гласит: "Если точка M является серединой дуги BC окружности, описанной около треугольника ABC, то отрезок KM является радиусом этой окружности".

Таким образом, длина отрезка KM является радиусом окружности, описанной около треугольника ABC.

Шаг 4: Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KMC

Так как отрезок KM является радиусом окружности, описанной около треугольника KMC, мы можем сказать, что радиус этой окружности равен KM.

Чтобы найти KM, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике AKM:

KM^2 = AK^2 + AM^2

Мы знаем, что AK = 45/14 (из шага 1) и AM - это радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Так как мы знаем длины сторон треугольника ABC (AC = 6, BC = 5, AB = 9), мы можем использовать формулу для радиуса окружности, описанной около треугольника:

Радиус = (AB * BC * AC) / (4 * Площадь треугольника ABC)

Площадь треугольника ABC можно вычислить с помощью формулы Герона:

Площадь = sqrt(s * (s - AB) * (s - BC) * (s - AC))

где s - полупериметр треугольника, который можно вычислить как:

s = (AB + BC + AC) / 2

Подставляя известные значения, получим:

s = (9 + 5 + 6) / 2 s = 20 / 2 s = 10

Площадь = sqrt(10 * (10 - 9) * (10 - 5) * (10 - 6)) Площадь = sqrt(10 * 1 * 5 * 4) Площадь = sqrt(200) Площадь = 10 * sqrt(2)

Теперь, когда у нас есть площадь треугольника ABC, мы можем вычислить радиус окружности, описанной около треугольника ABC:

Радиус = (9 * 5 * 6) / (4 * 10 * sqrt(2)) Радиус = 270 / (40 * sqrt(2)) Радиус = 27 / (4 * sqrt(2)) Радиус = (27 * sqrt(2)) / 8

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника KMC, равен (27 * sqrt(2)) / 8.