Question

биссектрисы углов a и b при боковой стороне ab трапеции abcd пересекаются в точке f. биссектрисы углов c и d при боковой стороне cd пересекаются в точке g. найдите fg, если средняя линия трапеции равна 21, боковые стороны-13 и 15. пожалуйста помогите, срочно надо!

Answer 1

я тут уже решал подобную задачу столько раз, что не помню, когда был первый.

 

Точки пересечения биссектрис - это центры окружностей, касающихся левой (или правой) стороны и обеих оснований. Поэтому отрезок, соединяющий эти центры - ЧАСТЬ СРЕДНЕЙ ЛИНИИ :))). Далее, если бы эти центры совпадали, то длина средней линии была бы равна ПОЛУСУММЕ БОКОВЫХ СТОРОН, то есть 14. (в этом случае трапеция была бы "ОПИСАНА ВОКРУГ ОКРУЖНОСТИ", а у таких 4угольников суммы противоположных сторон равны). Поэтому ответ 21-14=7. :)))

 

(Именно на это расстояние как бы раздвинуты вписаные окружности - пояснение такое :))). 

 

Еще вариант решения, по сути - такой же

 Обе точки пересечения биссектрис лежат на одинаковом расстоянии от оснований, это - центры окружностей, касающихся оснований. Одна касается левого ребра 13, другая - правого 15. Если точки касаний делят верхнее основание на отрезки x, у, z, то сразу ясно, что z - искомое расстояние. И есть 3 соотношения.

 

z+x+y = b;

z+(13-x)+(15-y) = a;

(a + b)/2 = 21

 

Складываем и делим на 2.

 

z = 7

 

Еще вариант решения - проводим специальную касательную к ЛЕВОЙ ОКРУЖНОСТИ (то есть - с центром в точке F), параллельную СD. Легко видеть, что окружность с центром в F вписана в трапецию с основаниями (13 - z) и (15 - z), где z - ИСКОМОЕ РАССТОЯНИЕ между центрами. Далее - см. начало :))) 

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами биссектрис углов и трапеции.

По свойству биссектрисы угла, она делит его на два равных угла. Таким образом, угол AFB равен углу BFA, и угол CGD равен углу DGC.

Также, по свойству биссектрисы угла, биссектриса угла делит противоположную сторону трапеции на отрезки, пропорциональные длинам других двух сторон. Таким образом, AF/AB = BF/BC и CG/CD = DG/DC.

Из условия задачи известно, что AB = 13 и BC = 15. Подставим эти значения в пропорции для отрезка AF/AB:

AF/13 = BF/15

Также, согласно свойству трапеции, сумма длин оснований трапеции (AB и CD) умноженная на длину средней линии (FG), равна удвоенной площади трапеции. Поэтому получаем уравнение:

(AB + CD) * FG = 2 * площадь трапеции

Площадь трапеции можно найти, используя формулу: площадь = (сумма оснований) * (высота) / 2. В данном случае, высота трапеции равна разности длин боковых сторон (15 - 13 = 2). Подставляем все значения в уравнение:

(13 + CD) * FG = 2 * (13 + CD) * 2 / 2

Сокращаем на (13 + CD) и получаем:

FG = 2

Таким образом, длина отрезка FG равна 2.