Question

Периметри двох подібних многокутникв відносяться як 2:3,а сума їх площ дорівнює 13см квадратних .знайдіть площі цих многокутників

Answer 1

$\frac{ S_{1} }{ S_{2} } = k^{2}$

k - коэффициент подобия

S₁=(2k)²=4k²

S₂=(3k)²=9k²

S₁+S₂=13, =>

4k²+9k²=13
13k²=13, k²=1

k=+-√1. 
т.к. площадь фигуры величина положительная, то  k>0 =>

k=1

S₁=4 см², S₂=9 см²

Answer 2

Для розв'язання цього завдання нам потрібно використати відношення периметрів та площ подібних фігур.

Перед тим як продовжити, давайте з'ясуємо, що означає "подібні многокутники". Дві фігури називаються подібними, якщо вони мають однакові форми, але можуть мати різні розміри. Для подібних многокутників, відношення довжин сторін кожного многокутника дорівнює одному й тому ж значенню.

Тепер, давайте позначимо периметри двох подібних многокутників як P1 і P2. За умовою, відношення периметрів цих многокутників становить 2:3. Тобто, ми можемо записати:

P1 : P2 = 2 : 3

Аналогічно, позначимо площі цих многокутників як S1 і S2. За умовою, сума їх площ дорівнює 13 квадратних сантиметрів. Тобто, ми можемо записати:

S1 + S2 = 13

Тепер ми можемо використати ці відношення для знаходження площ подібних многокутників.

Давайте позначимо коефіцієнт пропорційності між периметрами як k. За умовою відношення периметрів становить 2:3, тому:

P1 = 2k P2 = 3k

Тепер давайте знайдемо відношення площ подібних многокутників відносно коефіцієнта пропорційності k. Площа многокутника пропорційна квадрату його сторони. Тому, відношення площ подібних многокутників можна записати як:

S1 : S2 = (2k)^2 : (3k)^2

Тепер ми можемо виразити коефіцієнт пропорційності k з відношення площ:

S1 : S2 = 4k^2 : 9k^2

Також, ми знаємо, що сума площ подібних многокутників дорівнює 13:

S1 + S2 = 13

Підставимо вирази для відношення площ в це рівняння:

4k^2 + 9k^2 = 13

Об'єднаємо подібні члени:

13k^2 = 13

Розділимо обидві частини на 13:

k^2 = 1

Тепер знайдемо значення k:

k = ±1

Таким чином, ми маємо два можливих значення для коефіцієнта пропорційності k: 1 і -1.

Знаходження площ

Тепер, коли ми знаходимо значення коефіцієнта пропорційності k, ми можемо знайти площі многокутників.

Для k = 1: - P1 = 2 * k = 2 * 1 = 2 - P2 = 3 * k = 3 * 1 = 3

Тепер ми можемо використовувати формули для площі многокутників. Нехай a1 і a2 - сторони многокутників, тоді площі будуть: - S1 = (1/4) * P1^2 = (1/4) * 2^2 = (1/4) * 4 = 1 - S2 = (1/4) * P2^2 = (1/4) * 3^2 = (1/4) * 9 = 9/4

Для k = -1: - P1 = 2 * k = 2 * -1 = -2 - P2 = 3 * k = 3 * -1 = -3

Тепер ми можемо використовувати формули для площі многокутників: - S1 = (1/4) * P1^2 = (1/4) * (-2)^2 = (1/4) * 4 = 1 - S2 = (1/4) * P2^2 = (1/4) * (-3)^2 = (1/4) * 9 = 9/4

Отже, площі цих двох многокутників будуть однаковими, і становитимуть 1 і 9/4 квадратних сантиметрів.