Question

в правильной треугольной пирамиде SABC известны ребра : AB=3 корня из 3 SC=5.Найти угол,образованный плоскотью основания и прямой MK где K середина ребра AC, а точка М делит ребро BS как BM:MS = 3:1

Answer 1

Если ВНИМАТЕЛЬНО посмотреть на треугольник SKB (постройте его! - это сечение пирамиды по боковому ребру BS и точке К, в нем лежит высота пирамиды), то мы увидим, что нам известно про это треугольник почти всё. Пусть О - проекция S на основание. По теореме синусов (!) находим ОВ = АС/(2*sin(60)) = 3 - это радиус описанной вокруг основания окружности. 

Рассмотрим треугольник SKB ещё внимательнее :)) Проекция точки М на ВК отстоит от точки О на 1/4 ОВ.

Очень легко увидеть, что при этом она попадает точно в середину ВК. Я даже не стану тут вычислять - проверьте сами, уж сложить 1/4 от 2/3 с 1/3 и получить 1/2 сможет даже экономист :))) не каждый, конечно, но говорят, что среди академиков такие встречаются :)))

Это означает, что треугольник КМВ - равнобедренный, и угол МКВ = Ф (который и надо найти) равен углу SBO, который найти проще, чем набрать это текст.

Ответ cos(Ф) = ОВ/SB = 3/5

 

Answer 2

Для решения данной задачи можно воспользоваться теоремой Пифагора и теоремой косинусов.

Обозначим точку пересечения плоскости основания треугольной пирамиды и прямой MK как точку P.

Поскольку треугольник ABC является прямоугольным, то применим теорему Пифагора к треугольнику ABC: AB^2 + BC^2 = AC^2

AB = 3√3 BC = SC = 5 AC = ?

Подставляем известные значения: (3√3)^2 + 5^2 = AC^2 9 * 3 + 25 = AC^2 27 + 25 = AC^2 52 = AC^2 AC = √52 = 2√13

Далее, обозначим длину отрезка BM как x, тогда длина отрезка MS будет равна x/3.

Применим теорему косинусов к треугольнику BMS: BM^2 = BS^2 + MS^2 - 2 * BS * MS * cos(BMS)

BS = BC = 5 MS = x/3 BM = x BMS = ?

Подставляем известные значения: x^2 = 5^2 + (x/3)^2 - 2 * 5 * (x/3) * cos(BMS) x^2 = 25 + (x^2)/9 - (10/3)x * cos(BMS)

Умножаем обе части уравнения на 9: 9x^2 = 225 + x^2 - (30/3)x * cos(BMS) 9x^2 - x^2 = 225 - (10x * cos(BMS)) 8x^2 = 225 - 10x * cos(BMS)

Так как BM:MS = 3:1, то x/3 = 3x/1, откуда x = 3.

Подставляем x = 3 в уравнение: 8(3^2) = 225 - 10(3) * cos(BMS) 8 * 9 = 225 - 30 * cos(BMS) 72 = 225 - 30 * cos(BMS) 30 * cos(BMS) = 225 - 72 30 * cos(BMS) = 153 cos(BMS) = 153/30 cos(BMS) = 5.1

Так как угол не может быть больше 1, то полученное значение некорректно.

Следовательно, решение данной задачи не существует.