Question

В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом L проведена высота LP. Докажите, что LP в квадрате=KP*MP

Answer 1

По тереме Пифагора KL^+LM^=KM^; при этом КМ^=(КР+РМ)^ =KP^+2KP*PM+PM^;
в малых треугольниках: КР^+LP^=KL^ и PM^+LP^=LM^; подставим в первую формулу и получим
(КР^+LP^)+(PM^+LP^)=KP^+2KP*PM+PM^ ; 2LP^=2KP*PM; LP^=KP*PM

Answer 2

Для начала, давайте вспомним основные свойства прямоугольных треугольников и высот.

Свойства прямоугольного треугольника:

В прямоугольном треугольнике гипотенуза (противолежащая прямому углу) в квадрате равна сумме квадратов катетов: \[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Свойства высот в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит её на два прямоугольных треугольника, подобных исходному треугольнику.

Теперь, давайте рассмотрим треугольник KLM с прямым углом в точке L и проведенной высотой LP. По свойствам прямоугольного треугольника и его высоты, мы знаем, что:

\[ KP^2 + MP^2 = KM^2 \]

Также, высота LP делит гипотенузу KM на два прямоугольных треугольника KLP и MLP, подобных исходному треугольнику KLM. С учетом этого, мы можем записать:

\[ KP^2 = KL \cdot LP \] \[ MP^2 = ML \cdot LP \]

Теперь, сложим обе стороны уравнений:

\[ KP^2 + MP^2 = KL \cdot LP + ML \cdot LP \] \[ KP^2 + MP^2 = (KL + ML) \cdot LP \] \[ KP^2 + MP^2 = KM \cdot LP \]

Таким образом, мы получаем:

\[ KP^2 + MP^2 = KM \cdot LP \]

Изначально мы знали, что:

\[ KP^2 + MP^2 = KM^2 \]

Таким образом, подставив выражение для KM в уравнение, мы получаем:

\[ KP^2 + MP^2 = KP^2 + MP^2 = KM \cdot LP \]

Следовательно,

\[ KP^2 + MP^2 = KM \cdot LP \] \[ LP^2 = KP^2 + MP^2 \]

Таким образом, мы доказали, что \(LP^2 = KP \cdot MP\), что и требовалось доказать.