Question

В прямоугольном треугольнике АВЕ с прямым углом Е проведена биссектриса ВТ, причем АТ = 15, ТЕ = 12. Найдите площадь треугольника АВТ

Answer 1

Дано: прямоугольный треугольник ABE, ∠AEB = 90°, AT = 15, TE = 12.
Найти: площадь треугольника ΔABT.
Решение:
(см. также рисунок)
Высота AE = AT + TE = 15 + 12 = 27 известна. Надо найти основание ЕВ. Для этого воспользуемся свойством биссектрисы. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам:
$\frac{ET}{AT} = \frac{EB}{AB} \\ \\ \frac{EB}{AB} = \frac{12}{15}$
$AB = \frac{15}{12} EB$
По теореме Пифагора:
$AB^2 = AE^2 + EB^2 = 27^2 + EB^2$
$\frac{15^2}{12^2} EB^2 = 27^2 + EB^2 \\ \\ \frac{15^2}{12^2} EB^2 - EB^2 = 27^2 \\ \\ EB^2 (\frac{15^2}{12^2} - 1) = 27^2 \\ \\ EB^2 \frac{15^2 - 12^2}{12^2} = 27^2 \\ \\ EB * \frac{ \sqrt{15^2 - 12^2} }{12} = 27 \\ \\ EB = \frac{27*12}{ \sqrt{(15-12)*(15+12)} } = \frac{27*12}{ \sqrt{3*27} } = \frac{27*12}{9} =36$
Площадь треугольника ΔABE равна:
$S_{\Delta ABE} = \frac{1}{2} *AE * EB = \frac{1}{2} *27 * 36 = 486$
Площадь треугольника ΔTBE равна:
$S_{\Delta TBE} = \frac{1}{2} *TE * EB = \frac{1}{2} *12 * 36 = 216$
Площадь треугольника ΔABT равна:
$S_{\Delta ABT} = S_{\Delta ABE} - S_{\Delta TBE} = 486 - 216 = 270$

Ответ: 270

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться следующими свойствами прямоугольных треугольников и биссектрис:

1. Сумма длин двух катетов прямоугольного треугольника равна гипотенузе: AB^2 = AE^2 + BE^2.

2. Биссектриса треугольника делит противоположную ей сторону на отрезки, пропорциональные остальным двум сторонам треугольника: AT/TE = AB/AE.

Используя эти свойства, можем составить систему уравнений и найти значения сторон треугольника ABT.

Первое уравнение: AB^2 = AE^2 + BE^2 AB^2 = 12^2 + (AB - 15)^2 AB^2 = 144 + AB^2 - 30AB + 225 0 = 369 - 30AB AB = 369 / 30 AB = 12.3

Второе уравнение: AT/TE = AB/AE 15/12 = 12.3/AE AE = (12.3 * 12) / 15 AE = 9.84

Теперь, когда у нас есть значения всех сторон треугольника ABT (AB = 12.3, AT = 15, AE = 9.84), мы можем найти его площадь.

Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона: s = (a + b + c) / 2 S = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

Где a, b и c - длины сторон треугольника, а s - полупериметр треугольника.

Подставляя значения сторон треугольника ABT в формулу Герона, получим: s = (12.3 + 15 + 9.84) / 2 s = 18.57

S = sqrt(18.57 * (18.57 - 12.3) * (18.57 - 15) * (18.57 - 9.84)) S = sqrt(18.57 * 6.27 * 3.57 * 8.73) S ≈ 45.59

Таким образом, площадь треугольника ABT составляет примерно 45.59 квадратных единиц.