Question

R=R*cos(180/n) доказать формулу

Answer 1

Пускай  AB - сторона n-угольника, OC - высота, O - центр трикутника AOB. Рассмотрим трикутник ACO. cos угла O = r/R - r=R cos угла O.
Поскольку угол AOB = 360 /n ,то угол  AOC = 180 /n, поэтому r=R*cos (180град/n)
 

Answer 2

Для начала, давайте рассмотрим геометрическую интерпретацию данной формулы. Предположим, у нас есть правильный многоугольник с n сторонами, вписанный в окружность радиусом R. Мы хотим найти длину одной из сторон этого многоугольника.

Геометрическая интерпретация

Пусть A и B - две соседние вершины многоугольника, а O - центр окружности. Тогда, R - радиус окружности, OB - радиус, а AB - длина стороны многоугольника.

Так как многоугольник является правильным, все его стороны одинаковой длины. Поэтому, чтобы найти AB, нам нужно найти длину дуги между A и B на окружности.

Известно, что на окружности длина дуги измеряется в угловых единицах. В нашем случае, угол между A и B равен 360 градусов, так как многоугольник является правильным.

Поэтому, чтобы найти длину дуги AB, мы можем использовать формулу:

Длина дуги = (угол в радианах) * радиус

В нашем случае, угол между A и B равен 360 градусов, что соответствует 2π радиан. Таким образом, формула принимает вид:

AB = (2π * R) / n

Алгебраическое доказательство

Мы можем доказать данную формулу, используя тригонометрические соотношения и геометрические свойства правильного многоугольника.

Рассмотрим треугольник OAB, где O - центр окружности, A и B - две соседние вершины правильного многоугольника.

Так как многоугольник является правильным, угол OAB равен 360 градусов / n, где n - количество сторон многоугольника.

Применяя тригонометрические соотношения, мы можем записать:

AB = 2 * R * sin(угол OAB / 2)

Заметим, что угол OAB / 2 равен (360 градусов / n) / 2 = 180 градусов / n.

Поскольку cos(180 градусов - x) = -cos(x), мы можем переписать формулу:

AB = 2 * R * sin((180/n)/2) = 2 * R * sin(180/(2n)) = 2 * R * sin(90/n)

Используя тригонометрическое соотношение sin(90/n) = cos(180/n), мы получаем:

AB = 2 * R * cos(180/n)

Вывод

Таким образом, мы доказали формулу AB = 2 * R * cos(180/n) для длины стороны правильного многоугольника с n сторонами, вписанного в окружность радиусом R. Эта формула может быть полезной при вычислении длины стороны многоугольника по радиусу окружности и количеству его сторон.