Question

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , в которой АВ=2,SA=3 точка Е - середина SB. Найдите угол между прямой СЕ и плоскостью SBD?

Answer 1

A=АВ=BC=DC=AB=2 (стороны квадрата ABCD )
r = SA = SB = SD = SC=3 (ребра пирамиды)
d - диагонали квадрата основания пирамиды
h- высота пирамиды
Угол между прямой СЕ и плоскостью SBD - это угол α между прямой СЕ и её проекцией EE₁ на плоскость SBD.

tgα=CE₁/EE₁

EE₁=h/2
h²=r²-(d/2)²
d²=a²+a²=2a²
d=a√2=2√2
h²=r²-(d/2)²=3²-(2√2/2)²=3²-2=9-2=7
h=√7
EE₁=h/2=(√7)/2
EE₁=(√7)/2


CE₁²=a²-BE₁²
BE₁=d/4
d=a√2
BE₁=d/4=(a√2)/4
CE₁²=a²-BE₁²
CE₁²=a²-BE₁²=a²-((a√2)/4)²
CE₁²=a²(1-2/16)=a²(14/16)=7*a²/8=7*2²/8=7/2
CE₁²=7/2
CE₁=√(7/2)

tgα=CE₁/EE₁=(√7/√2):(√7)/2=2/√2=√2

tgα=√2

α=arctg(√2) ≈ 55°

рисунок ниже:

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами четырехугольной пирамиды.

Угол между прямой и плоскостью можно найти, используя формулу:

cos(угол) = |(вектор прямой)·(вектор нормали плоскости)| / (|вектор прямой|·|вектор нормали плоскости|),

где · обозначает скалярное произведение векторов, | | обозначает модуль (длину) вектора.

Найдем вектор прямой СЕ. Так как точка Е - середина отрезка SB, то вектор СЕ равен половине вектора SB:

СЕ = (1/2)·SB.

Теперь найдем вектор нормали плоскости SBD. Для этого возьмем векторное произведение векторов SD и BD:

n = SD × BD,

где × обозначает векторное произведение.

Теперь осталось только подставить полученные векторы в формулу для нахождения угла:

cos(угол) = |(1/2)·SB·n| / (|(1/2)·SB|·|n|).

Так как вектор SB равен вектору SA + AB, а вектор SA равен вектору SD, а вектор AB равен вектору BD, получаем:

SB = SD + BD.

Подставляем это равенство в формулу для нахождения угла:

cos(угол) = |(1/2)·(SD + BD)·n| / (|(1/2)·(SD + BD)|·|n|).

Теперь осталось только вычислить модули векторов и подставить полученные значения в формулу.

Надеюсь, это поможет вам решить задачу!