Question

Сторона ромба ABCD равна 4 см,∠D = 120°,AM⊥AD ,BN ⊥CD . Найдите: AM,MD,BD; Докажите,что Δ MBN–равносторонний.

Answer 1

Во-1-х, не AM⊥AD, а BM⊥AD

Если <D=<B=120°, то <A=<C=180-120=60°
Рассмотрим прямоуг.  треугольник AMB. В нем <ABM=180-(60+90)=30°
Значит, сторона AM лежит против угла в 30° и она в 2 раза меньше гипотенузы AB, т.е.
 АМ=4:2=2 см. Тогда 
MD=AD-AM=4-2=2 см
Аналогично, в прямоуг. треугольнике BNC <CBN=180-(60+90)=30°
Следовательно, <MBN=<ABC-(<ABM+<CBN)=120-(30+30)=60°

Рассмотрим треугольник ABD. Он - равнобедренный (AD=AB), значит, <ADB=<ABD.
Но <A = 60°, тогда <ADB=<ABD.= (180-<A)/2=(180-60)/2=60°, т.е. треугольник ABD - равносторонний, тогда  
BD=AB=4 см

Рассмотрим треугольник MBN.
Т.к. Δ AMB=ΔCNB (по 1-му признаку, AB=BC, AM=CN, <A=>C), то BM=BN и
ΔMBN - равнобедренный. Но <MBN=60°, значит,
<BMN=<BNM=(180-60)/2=60°А это означает, что ΔMBN - равносторонний
все доказали 

Answer 2

Дано: - Сторона ромба ABCD равна 4 см. - Угол D равен 120°. - AM ⊥ AD, где M - середина стороны AD. - BN ⊥ CD, где N - середина стороны CD.

Найдем AM: Так как AM ⊥ AD, то AM является высотой треугольника AMD. Треугольник AMD является прямоугольным, так как AM ⊥ AD, поэтому AM является его гипотенузой.

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае:

AM^2 = AD^2 - DM^2

Так как сторона ромба ABCD равна 4 см, то сторона AD также равна 4 см. Поскольку M - середина стороны AD, то AM равно половине стороны AD.

AM = AD/2 = 4/2 = 2 см

Найдем MD: Так как M - середина стороны AD, то MD равно половине стороны AD.

MD = AD/2 = 4/2 = 2 см

Найдем BD: Так как BN ⊥ CD, то BN является высотой треугольника BCD. Треугольник BCD является прямоугольным, так как BN ⊥ CD, поэтому BN является его гипотенузой.

BD = 2BN

Так как N - середина стороны CD, то BN равно половине стороны CD.

BN = CD/2 = 4/2 = 2 см

BD = 2BN = 2 * 2 = 4 см

Теперь докажем, что треугольник MBN является равносторонним: Для того чтобы доказать, что треугольник MBN равносторонний, нам нужно показать, что все его стороны равны.

Мы уже нашли, что BN = 2 см. Также, так как M - середина стороны AD, то DM = MD = 2 см.

Таким образом, у нас есть: BN = 2 см DM = 2 см MB = BD = 4 см

Все стороны треугольника MBN равны, поэтому треугольник MBN является равносторонним.

Итак, получили следующие значения: AM = 2 см MD = 2 см BD = 4 см Треугольник MBN является равносторонним.