Question

Отрезок соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника равен полусумме двух других его сторон. Докажите что эти последние противоположные стороны параллельны

Answer 1

Это проще всего делать с помощью векторов. Пусть четырехугольник ABCD, и отрезок MN соединяет середины AB (точка M) и CD (точка N)
Тогда
MN = -AB/2 + AD - CD/2;
MN = AB/2 + BC + CD/2;
Если это сложить, получится
MN = (AD + BC)/2;
Разумеется, векторы AD и BC должны быть коллинеарны (параллельны), если выполнено такое же соотношение для длин векторов (то есть длина суммы векторов равна сумме длин векторов, если вектора параллельны).

Answer 2

Доказательство:

Пусть ABCD - выпуклый четырехугольник, а E и F - середины его противоположных сторон AB и CD соответственно.

Мы должны доказать, что сторона AD параллельна стороне BC.

Для начала, обозначим длины сторон четырехугольника следующим образом:

AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.

Также обозначим длину отрезка EF как x.

Согласно условию задачи, отрезок EF равен полусумме двух других сторон четырехугольника:

x = (a + c) / 2

# Доказательство по методу подобия треугольников:

1. Рассмотрим треугольники AEF и CEF.

Так как E - середина стороны AB, а F - середина стороны CD, то стороны AE и CF равны между собой (по свойству серединного перпендикуляра).

Кроме того, у этих треугольников есть общая сторона EF.

Из этих фактов следует, что треугольники AEF и CEF равны по двум сторонам и общей стороне (по признаку равенства треугольников SSS).

Значит, углы AEF и CEF равны между собой.

2. Рассмотрим треугольники AED и CFB.

Так как E - середина стороны AB, а F - середина стороны CD, то стороны AE и CF равны между собой (по свойству серединного перпендикуляра).

Кроме того, у этих треугольников есть общая сторона AD.

Из этих фактов следует, что треугольники AED и CFB равны по двум сторонам и общей стороне (по признаку равенства треугольников SSS).

Значит, углы AED и CFB равны между собой.

# Вывод:

Из равенства углов AEF и CEF, а также равенства углов AED и CFB, следует, что углы AEF и AED равны углам CEF и CFB соответственно.

Таким образом, сторона AD параллельна стороне BC (по свойству параллельных прямых и определению параллельности).

Таким образом, мы доказали, что последние противоположные стороны четырехугольника параллельны.