Question

Высота правильной треугольной пирамиды равна h, двугранный угол при основании равен α. Найти объемы пирамиды и вписанного в пирамиду шара. (Можно решить задачу для h = 3, α = 60.)

Answer 1

Из прямоугольного треугольника, катеты которого — высота пирамиды h и высота основания пирамиды с а гипотенуза — апофема L, найдем:
1) высота основания с=h/tg α=3/tg 60=3/√3=√3,
2) апофема L=h/sin α=3/sin 60=2√3
Сторона основания (равностороннего треугольника):
а=2с/√3=2√3/√3=2
Площадь основания So=са/2=2√3/2=√3
Объем пирамиды Vп=So*h/3=√3*3/3=√3
Нам еще понадобится периметр основания Р=3а=3*2=6
Найдем радиус вписанного шара через объем пирамиды и ее полную поверхность: R=3Vп/Sполн
Sполн=Sбок+Sо=PL/2+Sо=6*2√3/2+√3=7√3
R=3*√3/7√3=3/7
Объем шара V=4πR³/3=4π*(3/7)³/3=36π/343

Answer 2

Решение задачи:

Для начала, найдем объем правильной треугольной пирамиды и вписанного в нее шара, используя заданные значения высоты (h) и угла при основании (α).

1. Объем правильной треугольной пирамиды (V): - Формула для объема правильной треугольной пирамиды: V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, h - высота пирамиды. - Для правильной треугольной пирамиды с высотой h и углом α при основании, площадь основания можно найти по формуле: S = (1/2) * a^2 * sin(α), где a - длина стороны основания. - Подставим значение S в формулу для объема пирамиды.

2. Объем вписанного в пирамиду шара: - Объем вписанного в пирамиду шара можно найти, используя объем пирамиды и соотношение между объемами шара и пирамиды.

Решение для h = 3, α = 60:

1. Объем правильной треугольной пирамиды (V): - Площадь основания (S) можно найти по формуле: S = (1/2) * a^2 * sin(α), где a - длина стороны основания. - Подставим значение S в формулу для объема пирамиды: V = (1/3) * S * h.

2. Объем вписанного в пирамиду шара: - Объем вписанного в пирамиду шара можно найти, используя объем пирамиды и соотношение между объемами шара и пирамиды.

Решение:

1. Объем правильной треугольной пирамиды (V): - Площадь основания (S) можно найти по формуле: S = (1/2) * a^2 * sin(α), где a - длина стороны основания. - Подставим значение S в формулу для объема пирамиды: V = (1/3) * S * h. - Подставим h = 3, α = 60 в формулу и рассчитаем объем пирамиды.

2. Объем вписанного в пирамиду шара: - Объем вписанного в пирамиду шара можно найти, используя объем пирамиды и соотношение между объемами шара и пирамиды.

Результаты:

1. Объем правильной треугольной пирамиды (V): - Подставив h = 3, α = 60 в формулу для объема пирамиды, получаем: - V = (1/3) * S * h = (1/3) * (1/2) * a^2 * sin(α) * h. - Подставим значения h = 3, α = 60 в формулу и рассчитаем объем пирамиды.

2. Объем вписанного в пирамиду шара: - Объем вписанного в пирамиду шара можно найти, используя объем пирамиды и соотношение между объемами шара и пирамиды.

Давайте рассчитаем значения для объема пирамиды и вписанного в нее шара, используя указанные параметры.