Question

Відрізки BM і CK висоти гострокутного трикутника ABC кут а дорівнює 45°. Знайдіть відношення площ трикутників АМК і ABC

Answer 1

Для початку, давайте розберемося з відрізками BM і CK. Вони є висотами гострокутного трикутника ABC. Також, ми знаємо, що кут а дорівнює 45°.

Для знаходження відношення площ трикутників АМК і ABC, нам потрібно спочатку знайти довжини відрізків BM і CK. Потім ми зможемо використати ці довжини для обчислення площ трикутників.

Оскільки BM і CK є висотами трикутника ABC, ми можемо скористатися властивістю прямокутних трикутників. В прямокутних трикутниках, висота, проведена до гіпотенузи, розбиває трикутник на два менших прямокутних трикутника, які подібні до початкового трикутника і до одного один до одного.

Таким чином, трикутники АМК і ABC є подібними, оскільки вони мають спільний кут 45° і відрізки BM і CK є висотами цих трикутників.

За властивістю подібних трикутників, відношення площ двох подібних трикутників дорівнює квадрату відношення довжин їх сторін.

Отже, щоб знайти відношення площ трикутників АМК і ABC, нам потрібно знайти відношення довжин сторін цих трикутників.

Для цього, ми можемо використати відомий математичний співвідношення, що в прямокутних трикутниках співвідношення довжин катетів до довжини гіпотенузи дорівнює 1:√2.

Так як трикутник АМК є прямокутним трикутником з кутом 45°, то відношення довжин сторін АМ, МК і АК буде 1:1:√2.

Таким чином, відношення площ трикутників АМК і ABC буде (1/2 * АМ * МК) / (1/2 * АВ * ВС) = (АМ * МК) / (АВ * ВС).

Отже, відношення площ трикутників АМК і ABC дорівнює (1 * 1) / (√2 * √2) = 1/2.

Тому площа трикутника АМК становить половину площі трикутника ABC.

Надіюся, що ця відповідь була детальною та зрозумілою! Якщо у вас є ще якісь питання, будь ласка, дайте знати.