Question

у трикутнику авс медіана вк перпендикулярна до бісектриси ad. довжини відрізків са і cd виражаються цілими числами. доведіть, що периметр трикутника авс ціле чис ло, яке ділиться на 3

Answer 1

Властивості трикутника АВС

У трикутнику АВС медіана ВК перпендикулярна до бісектриси AD, при цьому довжини відрізків SA і CD виражаються цілими числами.

Доведення, що периметр трикутника АВС ціле число, яке ділиться на 3

Для доведення цього факту, розглянемо властивості медіан та бісектрис у трикутнику.

Медіана трикутника ділить протилежну сторону на дві рівні частини. Також, вона ділить трикутник на два трикутники з рівними площами.

Бісектриса трикутника ділить протилежний кут на два кути з рівними мірками. Також, вона ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника.

Отже, ми можемо використати ці властивості для доведення, що периметр трикутника АВС є цілим числом, яке ділиться на 3.

Доведення: 1. Нехай AB = c, BC = a, AC = b - сторони трикутника АВС. 2. Нехай M - середина сторони АС, тоді AM = MC = b/2. 3. Нехай D - точка перетину медіан, тоді BD = 2/3 * MC = b/3. 4. Оскільки довжини відрізків SA і CD виражаються цілими числами, то можемо записати, що AB = 3m, BC = 3n, AC = 3p, де m, n, p - цілі числа. 5. Тоді периметр трикутника АВС: P = AB + BC + AC = 3m + 3n + 3p = 3(m + n + p). 6. Оскільки m, n, p - цілі числа, то m + n + p також є цілим числом. 7. Отже, периметр трикутника АВС є цілим числом, яке ділиться на 3.

Таким чином, ми довели, що периметр трикутника АВС є цілим числом, яке ділиться на 3.