Question

Площина альфа паралельна площині рівностороннього трикутника ABC. Через його вершини проведено паралельні прямі, які перетинають площину альфа в точках А1 , В1 , С1 . Обчисліть периметр та площу трикутника А,В,С, якщо АB=8см.

Answer 1

Для вирішення цієї задачі спочатку розглянемо властивості паралельних ліній та рівностороннього трикутника. Потім визначимо координати точок \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) та знайдемо відповідні сторони трикутника \(А_1В_1С_1\). Нарешті, визначимо периметр та площу трикутника \(А_1В_1С_1\).

Властивості паралельних ліній та рівностороннього трикутника

Коли паралельні прямі перетинають площину, що містить рівносторонній трикутник, вони утворюють новий рівносторонній трикутник.

Знаходження координат точок \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\)

Нехай координати вершини \(A\) трикутника \(ABC\) дорівнюють \((0, 0, 0)\), \(B\) - \((8, 0, 0)\), \(C\) - \((4, 4\sqrt{3}, 0)\) (з урахуванням рівносторонності трикутника). Також, нехай площина \(\alpha\) задана рівнянням \(z = 0\).

Тоді, так як прямі \(AB\), \(BC\) та \(CA\) паралельні площині \(\alpha\), координати точок \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) будуть збігатися з координатами відповідних вершин трикутника \(ABC\), але зі значенням \(z = 0\), тобто: \(A_1\) - \((0, 0, 0)\), \(B_1\) - \((8, 0, 0)\), \(C_1\) - \((4, 4\sqrt{3}, 0)\).

Знаходження сторін трикутника \(А_1В_1С_1\)

З вищесказаного випливає, що сторони трикутника \(А_1В_1С_1\) мають такі ж довжини, як відповідні сторони трикутника \(ABC\), а саме: \(A_1B_1 = 8\) см, \(B_1C_1 = 4\) см, \(C_1A_1 = 4\sqrt{3}\) см.

Знаходження периметру та площі трикутника \(А_1В_1С_1\)

Периметр трикутника \(А_1В_1С_1\) обчислюється за формулою: \(P = A_1B_1 + B_1C_1 + C_1A_1\). Площа трикутника \(А_1В_1С_1\) обчислюється за формулою Герона, з урахуванням того, що всі сторони рівні: \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times A_1B_1^2\).

Підставляючи відомі значення, отримаємо: \(P = 8 + 4 + 4\sqrt{3} = 12 + 4\sqrt{3}\) см, \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2