Question

100 баллов! Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды =60°, а боковое ребро =2дм. Чему равна площадь полной поверхности этой пирамиды? Решение обязательно с рисунком.

Answer 1

Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 60°, а боковое ребро - 2 дм. Чему равна площадь полной поверхности этой пирамиды?

РЕШЕНИЕ:

• В правильной пирамиде все боковые рёбра равны: АЕ = ВЕ = СЕ = 2 дм = 20 см
• Рассмотрим тр. СЕВ ( СЕ = ВЕ ):
Если в равнобедренном треугольнике один из углов равен 60° , то этот треугольник равносторонний.
Доказать это свойство несложно. Найдите другие углы равнобедренного треугольника и поймёте, что этот треугольник равносторонний.
Площадь равностороннего треугольника СЕВ вычисляется по формуле:

$s = \frac{ {a}^{2} \sqrt{3} }{4}$

где а - сторона равностороннего треугольника

S ceb = 400V3 / 4 = 100V3

• В этой правильной треугольной пирамиде все рёбра равны в виду того, что боковые грани - равносторонние треугольники. Вследствие этого получаем правильный тетраэдр. Все грани правильного тетраэдра равны =>

S пол.пов. = 4 • S ceb = 4 • 100V3 = 400V3 см^2


ОТВЕТ: 400V3 см^2 или 4V3 дм^2

Answer 2

Основание правильной треугольной пирамиды - правильный (равносторонний) треугольник с углами по 60°.

Грани правильной треугольной пирамиды - равнобедренные треугольники с основаниями при основании пирамиды.

При угле вершины в 60° углы при основании - (180-60)/2=60° ⇒

грани данной пирамиды равносторонние треугольники. ⇒

Данная пирамида - тетраэдр.

Площадь тетраэдра - S=a²√3, где а - боковое ребро тетраэдра.

S=2²√3=4√3 дм².

Answer 3

Решение с рисунком

Для начала, нам нужно найти площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды. Для этого воспользуемся формулой:

Площадь полной поверхности \(S = S_{осн} + S_{бок}\), где \(S_{осн}\) - площадь основания, \(S_{бок}\) - площадь боковой поверхности.

Нахождение площади основания

Для правильной треугольной пирамиды с плоским углом при вершине \(60°\) и боковым ребром \(2дм\), площадь основания можно найти по формуле:

Площадь основания \(S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\), где \(a\) - длина стороны основания.

Нахождение площади боковой поверхности

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле:

Площадь боковой поверхности \(S_{бок} = \frac{P \cdot l}{2}\), где \(P\) - периметр основания, \(l\) - высота боковой грани.

Решение с числами

Для нахождения площади основания, нам нужно найти длину стороны основания \(a\). Из геометрии правильной треугольной пирамиды известно, что длина стороны основания связана с боковым ребром следующим образом: \(a = \frac{2}{\sqrt{3}}\).

Теперь, имея длину стороны основания, мы можем найти площадь основания \(S_{осн}\).

Для нахождения площади боковой поверхности, нам нужно найти периметр основания \(P\) и высоту боковой грани \(l\). Периметр основания правильной треугольной пирамиды равен \(3a\), а высоту боковой грани можно найти по теореме Пифагора: \(l = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2}\), где \(h\) - высота пирамиды.

Теперь, имея периметр основания и высоту боковой грани, мы можем найти площадь боковой поверхности \(S_{бок}\).

Подстановка чисел и расчет

Давайте подставим значения в формулы и найдем площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь основания: \(a = \frac{2}{\sqrt{3}}\), \(S_{осн} = \frac{(\frac{2}{\sqrt{3}})^2 \sqrt{3}}{4}\)

Площадь боковой поверхности: \(P = 3a\), \(l = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2}\), \(S_{бок} = \frac{3a \cdot \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2}}{2}\)

После нахождения \(S_{осн}\) и \(S_{бок}\), сложим их, чтобы получить площадь полной поверхности \(S\).

Результат

После подстановки значений и вычислений, мы получаем площадь полной поверхности правильной тре