Question

Решите задачу: Окружность, диаметром которого является отрезок АС, описанная окружность вокруг треугольника АВС. Из точки В к диаметру провели перпендикуляр длинны 2 см. Найдите длинну хорды АВ, если угол АСВ равен 60 градусов.

Answer 1

Ответ: 2 корня из 3

Объяснение:

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами окружностей и треугольников.

По свойству окружностей, угол, опирающийся на дугу, в два раза больше центрального угла, опирающегося на эту же дугу. В данном случае, угол АСВ равен 60 градусов, значит центральный угол АОВ равен 120 градусов.

Также по свойству окружностей, центральный и накрест лежащий углы равны. Значит, угол АВО также равен 120 градусов.

Рассмотрим треугольник АОВ. Угол ВОА равен 90 градусов, а угол АВО равен 120 градусов. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то угол ОАВ равен 180 - 90 - 120 = -30 градусов. Отрицательное значение угла говорит о том, что угол ОАВ является внешним углом треугольника АВС.

Теперь рассмотрим треугольник АБВ. Угол ВАС равен 60 градусов, а угол ОАВ равен -30 градусов. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то угол АБВ равен 180 - 60 - (-30) = 150 градусов.

Таким образом, угол АБВ равен 150 градусов.

Для нахождения длины хорды АВ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника АБВ:

(АВ)² = (АО)² + (ОВ)² - 2 * (АО) * (ОВ) * cos(АБВ)

Так как АО = ОВ (так как О - центр окружности, проведенной вокруг треугольника АВС), то формула упрощается:

(АВ)² = 2 * (АО)² - 2 * (АО)² * cos(АБВ)

(АВ)² = 2 * (АО)² * (1 - cos(АБВ))

Так как АО = AC/2 (так как АС - диаметр окружности, а О - центр окружности), то:

(АВ)² = 2 * (AC/2)² * (1 - cos(АБВ))

(АВ)² = (AC)² * (1 - cos(АБВ))

Так как мы знаем, что угол АСВ равен 60 градусов, то:

cos(АБВ) = cos(АСВ) = cos(60) = 1/2

(АВ)² = (AC)² * (1 - 1/2)

(АВ)² = (AC)² * 1/2

(АВ)² = (AC)² / 2

(АВ) = √((AC)² / 2)

(АВ) = AC / √2

Таким образом, длина хорды АВ равна AC / √2.