Question

В треугольнике ABC на стороне ВС выбрана точка D так, что BD:CD=3:1. Докажите, что медиана CM делит отрезок AD в отношении 4:1.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

По теореме Менелая для треугольника BAD и прямой CM. CM пересекает AD в точке O:

(BM/AM)*(AO/DO)*(BD/BC) = 1 => 1/1 * AO/DO * 1/4 = 1 => AO/DO = 4/1 ЧТД

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой менелая.

Пусть M - середина стороны BC, то есть точка, в которой медиана CM пересекает сторону BC. Также пусть точка E - точка пересечения медианы CM и отрезка AD.

Требуется доказать, что AE:ED = 4:1.

Применим теорему Менелая к треугольнику ABC и прямой, проходящей через точки D, M и E. Тогда получим:

BD/DC * CE/EA * AM/MB = 1.

Так как BD:CD = 3:1, то можно заменить соответствующие значения:

3/1 * CE/EA * AM/MB = 1.

Также известно, что точка M - середина стороны BC, поэтому AM/MB = 1.

Подставим это значение в уравнение:

3/1 * CE/EA * 1 = 1.

Упростим выражение:

CE/EA = 1/3.

Так как точка E - точка пересечения медианы CM и отрезка AD, то ME делит AD пополам, то есть AE = ED.

Тогда получаем:

AE/ED = 1/3.

Умножим обе части уравнения на 4:

4 * AE/ED = 4 * 1/3.

Получаем:

4 * AE/ED = 4/3.

Таким образом, медиана CM действительно делит отрезок AD в отношении 4:1.