Question

В остроугольном треугольнике ABC сторона АВ = 8, ВС = 6. Высоты AL и СК пересекаются в точке Р. Через точки А и Р проведены прямые, перпендикулярные прямой KL и пересекающие прямую ВС соответственно в точках Н и Т. Найдите длину отрезка ТН.

Answer 1

Достроим треугольник АВС до параллелограмма ABCE. Высоты треугольника AL и CK также являются высотами параллелограмма.

EP ⊥ KL ⇒ точки E, P, F, T лежат на одной прямой. Так как AH ⊥ KL и PT ⊥ KL, то AH ║ PT и следует обратить внимание на то что четырёхугольник AEHT - параллелограмм, значит TH = AE = BC = 6

Ответ: 6.

Answer 2

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать свойство подобия треугольников и теорему Пифагора.

Решение:

1. Обозначим длину отрезка ТН за х.

2. Так как АВ = 8, а ВС = 6, то треугольник АВС является остроугольным и прямоугольным.

3. Рассмотрим треугольник АПС. Он подобен треугольнику АВС, так как у них соответствующие углы равны.

4. Используя свойство подобия треугольников, можем записать следующие пропорции:

AP / AB = PS / BC

AP / 8 = PS / 6

6 * AP = 8 * PS

AP = (4/3) * PS

5. Рассмотрим треугольник АРТ. Он также подобен треугольнику АСК, так как у них соответствующие углы равны.

6. Используем свойство подобия треугольников и записываем пропорцию:

AR / AS = RT / SK

AR / 8 = RT / SK

RT = (AR * SK) / 8

7. Рассмотрим треугольник ТРН. Он также подобен треугольнику КПА, так как у них соответствующие углы равны.

8. Используем свойство подобия треугольников и записываем пропорцию:

RT / AP = TN / AK

(AR * SK) / 8 = TN / (8 - AP)

(AR * SK) = 8 * TN - TN * AP

(AR * SK) = TN * (8 - AP)

TN = (AR * SK) / (8 - AP)

9. Подставляем значение AP из пункта 4:

TN = (AR * SK) / (8 - (4/3) * PS)

10. Подставляем значения AR = AP + PR и PS = AP + SP из пункта 4:

TN = ((AP + PR) * SK) / (8 - (4/3) * (AP + SP))

11. Замечаем, что SP = 6 - PS = 6 - (4/3) * AP:

TN = ((AP + PR) * SK) / (8 - (4/3) * (AP + (6 - (4/3) * AP)))

12. Упрощаем выражение в знаменателе:

TN = ((AP + PR) * SK) / (8 - (4/3) * (AP + 6 - (4/3) * AP))

TN = ((AP + PR) * SK) / (8 - (4/3) * (6 - (1/3) * AP))

TN = ((AP + PR) * SK) / (8 - (24/3 - (4/3) * AP))

TN = ((AP + PR) * SK) / (8 - (20/3 - (4/3) * AP))

TN = ((AP + PR) * SK) / (8 - (20/3 - 4/3 * AP))

TN = ((AP + PR) * SK) / (8 - (16/3 + 4/3 * AP))

TN = ((AP + PR) * SK) / (24/3 - (16/3 + 4/3 * AP))

TN = ((AP + PR) * SK) / (8/3 - 4/3 * AP)

TN = ((AP + PR) * SK) / (8/3 * (1 - 2/3 * AP))

13. Подставляем значения SK = AL и PR = PL из пункта 8:

TN = ((AP + PL) * AL) / (8/3 * (1 - 2/3 * AP))

14. Замечаем, что AL = AC - CL = AC - (AP + PL):

TN = ((AP + PL) * (AC - (AP + PL))) / (8/3 * (1 - 2/3 * AP))

15. Подставляем значения AC = AB + BC изначально задачи и упрощаем выражение:

TN = ((AP + PL) * (8 - (AP + PL))) / (8/3 * (1 - 2/3 * AP))

TN = ((AP + PL) * (8 - AP - PL)) / (8/3 * (1 - 2/3 * AP))

TN = ((AP + PL) * (8 - AP - PL)) / (8/3 - 16/9 * AP)

TN = ((AP + PL) * (8 - AP - PL)) / (24/9 - 16/9 * AP)

TN = ((AP + PL) * (8 - AP - PL)) / (8/9 - 16/9 * AP)

TN = (9 * (AP + PL) * (8 - AP - PL)) / (8 - 16 * AP)

TN = (9 * (AP + PL) * (8 - AP - PL)) / (8 - 16 * AP)

16. Замечаем, что PL = PK и PK = SK - SP = AL - (6 - (4/3) * AP) = AL - 6 + (4/3) * AP:

TN = (9 * (AP + (AL - 6 + (4/3) * AP)) * (8 - AP - (AL - 6 + (4/3) * AP))) / (8 - 16 * AP)

TN = (9 * (AP + (AL - 6 + (4/3) * AP)) * (8 - AP - AL + 6 - (4/3) * AP)) / (8 - 16 * AP)

TN = (9 * (AP + AL - 6 + (4/3) * AP) * (8 - AP - AL + 6 - (4/3) * AP)) / (8 - 16 * AP)

TN = (9 * (AP + AL - 6 + (4/3) * AP) * (8 - AP - AL + 6 - (4/3) * AP)) / (8 - 16 * AP)

TN = (9 * (AP + AL - 6 + (4/3) * AP) * (8 - AP - AL + 6 - (4/3) * AP)) / (8 - 16 * AP)

TN = (9 * (AP + AL - 6 + (4/3) * AP) * (8 - AP - AL + 6 - (4/3) * AP)) / (8 - 16 * AP)

TN = (9 * (AP + AL - 6 + (4/3) * AP) * (8 - AP - AL + 6 - (4/3) * AP)) / (8 - 16 * AP)

17. Упрощаем числитель:

TN = (9 * (10/3 * AP + AL - 6) * (14/3 - 2/3 * AP)) / (8 - 16 * AP)

TN = (9 * (10 * AP + 3 * AL - 18) * (14 - 2 * AP)) / (8 - 16 * AP)

18. Упрощаем знаменатель:

TN = (9 * (10 * AP + 3 * AL - 18) * (14 - 2 * AP)) / (8 - 16 * AP)

TN = (9 * (10 * AP + 3 * AL - 18) * (14 - 2 * AP)) / (8 - 16 * AP)

19. Раскрываем скобки:

TN = (9 * (140 * AP - 20 * AP^2 + 42 * AL - 6 * AL * AP - 252 + 36 * AP)) / (8 - 16 * AP)

TN = (9 * (140 * AP - 20 * AP^2 + 42 * AL - 6 * AL * AP + 36 * AP - 252)) / (8 - 16 * AP)

20. Упрощаем выражение:

TN = (9 * (140 * AP - 20 * AP^2 + 42 * AL - 6 * AL * AP + 36 * AP - 252)) / (8 - 16 * AP)

TN = (9 * (-20 * AP^2 + 176 * AP + 42 * AL - 6 * AL * AP - 252)) / (8 - 16 * AP)

TN = (-