Question

Около конуса описан шар, площадь большого круга которого равна π дм². Найдите площадь боковой поверхности этого конуса, если его образующая наклонена к плоскости основания под углом 60° .​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Радиус основания через площадь - πr²=π ⇒ r²=1, r=√1=1 дм;

ΔАВС равносторонний, все углы по 60°;

стороны равностороннего треугольника через радиус описанной окружности: R=a/√3 ⇒ a=R√3;

АВ=√3 - образующая l;

АС=√3 - диаметр основания конуса, r=√3/2;

Sбок=πrl=π*√3*√3/2=1,5π дм².

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства трехмерных фигур, таких как конус.

Площадь боковой поверхности конуса можно выразить формулой:

\[ S_{\text{бок}} = \pi r l, \]

где \( r \) - радиус основания конуса, а \( l \) - длина образующей.

В данном случае у нас есть информация о шаре, вписанном в этот конус, и его большом круге. Площадь большого круга равна \( \pi \) квадратных дециметров.

Площадь большого круга шара равна \( 4\pi r^2 \), где \( r \) - радиус шара. Однако радиус шара равен радиусу конуса, так как шар вписан в конус.

Итак, у нас есть:

\[ 4\pi r^2 = \pi \]

Решая это уравнение, мы можем найти радиус \( r \) конуса.

\[ r^2 = \frac{\pi}{4} \]

\[ r = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \]

Теперь, у нас есть радиус \( r \) и информация о наклонении образующей конуса к плоскости основания под углом 60°. Это означает, что косинус угла наклона будет равен \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \).

Теперь мы можем найти длину образующей \( l \):

\[ l = \frac{r}{\cos(60^\circ)} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} = \sqrt{\pi} \]

Теперь мы можем использовать формулу для площади боковой поверхности конуса:

\[ S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{\pi^{3/2}}{2} \]

Таким образом, площадь боковой поверхности этого конуса равна \( \frac{\pi^{3/2}}{2} \) квадратных дециметров.