Question

Чи лежать точки А(-5;3;2), B(-23;0;17), C(1;4;-3) на одній прямій? Яка з точок лежить між двома іншими? (Відповідь записати у вигляді: так або ні кома і вказати точку без пробілу)​

Answer 1

Для перевірки, чи лежать точки на одній прямій, можна скористатися формулою векторного добутку і порівняти його із нульовим вектором.

Для цього спочатку знайдемо вектор, що сполучає точки A і B:

AB = B - A = (-23 - (-5); 0 - 3; 17 - 2) = (-18; -3; 15).

Аналогічно знайдемо вектор, що сполучає точки A і C:

AC = C - A = (1 - (-5); 4 - 3; -3 - 2) = (6; 1; -5).

Тепер знайдемо їх векторний добуток:

AB × AC = (-18; -3; 15) × (6; 1; -5) = (18×(-5) - 15×1; 15×6 - (-18)×(-5); (-18)×1 - (-3)×6) = (-105; 123; -6).

Оскільки отриманий вектор не дорівнює нульовому, то точки А, В і С не лежать на одній прямій.

Щоб визначити, яка з точок лежить між двома іншими, можна порівняти координати векторів, що сполучають ці точки.

AB = (-18; -3; 15) і AC = (6; 1; -5).

З цього можна зрозуміти, що точка С лежить між точками А та В, а точніше - точка С лежить між точками А та В.

Отже, відповідь: ні, С.

Answer 2

Для того чтобы проверить, лежат ли точки A, B и C на одной прямой, можно использовать векторное равенство.

Вектор AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (-23 - (-5), 0 - 3, 17 - 2) = (-18, -3, 15) Вектор AC = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1) = (1 - (-5), 4 - 3, -3 - 2) = (6, 1, -5)

Теперь найдем их векторное произведение: AB x AC = (y1z2 - z1y2, z1x2 - x1z2, x1y2 - y1x2) = (-3*15 - 2*(-3), 2*(-18) - (-5)*15, (-5)*(-3) - (-18)*1) = (-39, -60, -9)

Если векторное произведение равно нулевому вектору (0, 0, 0), то точки лежат на одной прямой. В данном случае, векторное произведение не равно нулевому вектору, значит точки A, B и C не лежат на одной прямой.

Теперь найдем точку, которая лежит между двумя другими. Для этого можно взять среднюю точку между A и B, или между A и C, или между B и C.

Средняя точка между A и B: ( (-5 - 23)/2, (3 + 0)/2, (2 + 17)/2 ) = (-14, 1.5, 9.5) Средняя точка между A и C: ( (-5 + 1)/2, (3 + 4)/2, (2 - 3)/2 ) = (-2, 3.5, -0.5) Средняя точка между B и C: ( (-23 + 1)/2, (0 + 4)/2, (17 - 3)/2 ) = (-11, 2, 7)

Таким образом, среди точек A, B и C нет такой точки, которая лежала бы между двумя другими точками.