Question

Дано точки А( 0, 2, 8), В( -2, 5, 9) С(2, 3, -1) D(3, -3 , 13) доведіть, що АВ перпендикулярно BCD​

Answer 1

Ответ:

-124

Объяснение:

Для доведення того, що вектор АВ перпендикулярний вектору BCD, ми можемо перевірити, чи є їхні скалярні добутки рівними нулю.

Спочатку обчислимо вектори AB, AC і AD:

AB = B - A = (-2, 5, 9) - (0, 2, 8) = (-2, 3, 1)

AC = C - A = (2, 3, -1) - (0, 2, 8) = (2, 1, -9)

AD = D - A = (3, -3, 13) - (0, 2, 8) = (3, -5, 5)

Тепер обчислимо скалярний добуток векторів AB і BCD:

AB · BCD = AB · (BC × BD)

Спочатку знайдемо векторне добуток векторів BC і BD:

BC = C - B = (2, 3, -1) - (-2, 5, 9) = (4, -2, -10)

BD = D - B = (3, -3, 13) - (-2, 5, 9) = (5, -8, 4)

BC × BD = (4, -2, -10) × (5, -8, 4)

Обчислимо векторний добуток:

(4, -2, -10) × (5, -8, 4) = [(2 * 4 - (-2) * (-8)), (4 * 4 - (-10) * (-8)), (4 * (-8) - (-2) * 5)]

= (20, -24, -12)

Тепер обчислимо скалярний добуток AB і (BC × BD):

AB · (BC × BD) = (-2, 3, 1) · (20, -24, -12)

Обчислимо скалярний добуток:

(-2, 3, 1) · (20, -24, -12) = -2 * 20 + 3 * (-24) + 1 * (-12)

= -40 - 72 - 12

= -124

Якщо скалярний добуток AB і BCD дорівнює нулю (AB · BCD = 0), то вектор AB є перпендикулярним до вектору BCD.

У нашому випадку, скалярний добуток AB і BCD дорівнює -124, а не нулю. Тому ми не можемо стверджувати, що вектор AB перпендикулярний вектору BCD.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что вектор AB перпендикулярен плоскости BCD, нужно убедиться, что вектор AB ортогонален к нормальному вектору этой плоскости.

1. Вычислим вектор AB, который идет от точки A к точке B: AB = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) AB = (-2 - 0, 5 - 2, 9 - 8) AB = (-2, 3, 1)

2. Теперь вычислим вектор BC, который идет от точки B к точке C: BC = (x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B) BC = (2 - (-2), 3 - 5, (-1) - 9) BC = (4, -2, -10)

3. Теперь вычислим вектор BD, который идет от точки B к точке D: BD = (x_D - x_B, y_D - y_B, z_D - z_B) BD = (3 - (-2), (-3) - 5, 13 - 9) BD = (5, -8, 4)

4. Теперь вычислим нормальный вектор плоскости BCD, который будет равен произведению векторов BC и BD: N = BC × BD

Где × обозначает векторное произведение: N_x = (BC_y * BD_z) - (BC_z * BD_y) N_y = (BC_z * BD_x) - (BC_x * BD_z) N_z = (BC_x * BD_y) - (BC_y * BD_x)

N_x = (-2 * 4) - (-10 * (-8)) = (-8) - (80) = -88 N_y = (-10 * 5) - (4 * (-8)) = (-50) + 32 = -18 N_z = (4 * (-2)) - (-2 * (-2)) = (-8) - 4 = -12

Таким образом, нормальный вектор плоскости BCD равен N = (-88, -18, -12).

5. Теперь проверим, является ли скалярное произведение вектора AB и нормального вектора плоскости BCD равным нулю, чтобы убедиться, что вектор AB перпендикулярен этой плоскости: AB · N = (AB_x * N_x) + (AB_y * N_y) + (AB_z * N_z) AB · N = (-2 * (-88)) + (3 * (-18)) + (1 * (-12)) AB · N = (176) - (54) - (12) AB · N = 110 - 66 AB · N = 44

Поскольку AB · N = 44, а не равно нулю, это означает, что вектор AB не перпендикулярен плоскости BCD. Таким образом, утверждение "AB перпендикулярно BCD" не верно на основе предоставленных данных и точек A, B, C и D.