Question

Помогите, пожалуйста Окружность касается сторон треугольника, длины которых равны 12, 14 и 16. Найдите длину наибольшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону, равную 12.Найдите длину наименьшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону, равную 12.

Answer 1

Ответ: наибольший 7, наименьший 5

Объяснение: x+z=16

x=16-z

y+x=12

y+(16-z)=12

y=12-16+z

y=z-4

z+y=14

2z=18, z=9

x=16-9=7

x+z=16

x=16-z

y+x=12

y+(16-z)=12

y=z-4

y=9-4=5

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством касательных к окружности. Если известно, что окружность касается стороны треугольника, то точка касания является точкой касания вписанной окружности.

Пусть \(AB\) - сторона треугольника, касающаяся окружности, \(BC\) и \(AC\) - остальные две стороны.

Также обозначим точку касания как \(D\).

Тогда, согласно свойству касательной, радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания. Таким образом, \(AD\) является радиусом вписанной окружности.

Треугольник \(ABC\) разбивается на три прямоугольных треугольника: \(ABD\), \(ACD\), и \(BCD\).

По теореме Пифагора в каждом из этих треугольников:

1. В треугольнике \(ABD\): \[ AD^2 + BD^2 = AB^2 \] \[ AD^2 + r^2 = 12^2 \]

2. В треугольнике \(ACD\): \[ AD^2 + CD^2 = AC^2 \] \[ AD^2 + r^2 = 16^2 \]

3. В треугольнике \(BCD\): \[ BD^2 + CD^2 = BC^2 \] \[ r^2 + r^2 = 14^2 \]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений для \(AD\) и \(r\).

Сложим первое и второе уравнение: \[ 2AD^2 + 2r^2 = 12^2 + 16^2 \]

Выразим \(r^2\): \[ 2r^2 = 12^2 + 16^2 - 2AD^2 \] \[ r^2 = \frac{12^2 + 16^2 - 2AD^2}{2} \]

Теперь выразим \(r^2\) из третьего уравнения: \[ r^2 + r^2 = 14^2 \] \[ 2r^2 = 14^2 \] \[ r^2 = \frac{14^2}{2} \]

Теперь у нас есть два уравнения для \(r^2\), и мы можем приравнять их: \[ \frac{12^2 + 16^2 - 2AD^2}{2} = \frac{14^2}{2} \]

Решив это уравнение, найдем \(AD\) — длину отрезка, на который точка касания делит сторону, равную 12.

Теперь найдем длину наибольшего и наименьшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону, равную 12. Так как мы знаем \(AD\), можем использовать это для вычисления длин этих отрезков.