Question

Касательная к окружности, вписанной в египетский треугольник, пересекает его катеты и отсекает от него прямоугольный треугольник. Найдите периметр отсечëнного треугольника.

Answer 1

Ответ:

Периметр отсеченного треугольника равен 2 ед.

Объяснение:

Касательная к окружности, вписанной в египетский треугольник, пересекает его катеты и отсекает от него прямоугольный треугольник. Найдите периметр отсеченного треугольника.

Дано: ΔАВС - прямоугольный;

Окр.(О,R) - вписанный;

МК - касательная;

Найти: Р(АМК)

Решение:

У египетского треугольника катеты равны 3 и 4, гипотенуза равна 5.

⇒ АС = 3; АВ = 4; ВС = 5.

• Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник найдем по формуле:

                r = (a + b - c)/2,

где а и b - катеты; с - гипотенуза.

⇒ R = (3 + 4 - 5)/2 = 1

Рассмотрим АЕОН.

• Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

⇒ ОЕ ⊥ АВ;   ОН ⊥ АС.

∠А = 90°;  ОЕ = ОН = R

⇒ AEOH - квадрат.

• Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

⇒ АО = ЕН;   АО ⊥ ЕН;   АР = РО.

Рассмотрим ΔЕОН - прямоугольный,

ОЕ = ОН = 1

По теореме Пифагора:

ЕН² = ЕО² + ОН² = 2   ⇒ ЕН = √2

тогда АР = РО = √2/2

Рассмотрим ΔАМК и ΔАЕН - прямоугольные.

МК ⊥ АР;   ЕН ⊥ АР

• Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

⇒ МК || EH

• Лемма. Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне, то она отсекает треугольник, подобный данному.

⇒ ΔАМК ~ ΔАЕН

• Высоты подобных треугольников относятся как коэффициент подобия.

• Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия.

⇒ Р(АМК) : Р(АЕН)= АТ : АР

АТ = АО - ТО = √2 - 1

Р(АЕН) = 1 + 1 + √2 = 2 + √2

АР = √2/2

$\displaystyle \frac{P(AMK)}{2+\sqrt{2} } =\frac{(\sqrt{2}-1 )\cdot2}{\sqrt{2} } \\\\P(AMK)=\frac{(2+\sqrt{2})\cdot(\sqrt{2}-1)\cdot2 }{\sqrt{2} } =\\\\=\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2}+1)\cdot(\sqrt{2}-1) \cdot2 }{\sqrt{2} } =2(2-1) = 2$

Периметр отсеченного треугольника равен 2 ед.

#SPJ1

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства касательных и вписанных углов окружности.

Дано: - Египетский треугольник, который является прямоугольным, то есть имеет один прямой угол. Обозначим катеты этого треугольника как a и b. - Окружность, которая вписана в этот треугольник. - Касательная, которая пересекает оба катета треугольника и отсекает от него прямоугольный треугольник.

Чтобы найти периметр отсеченного треугольника, нам нужно знать длины его сторон. Давайте обозначим эти стороны как x, y и z.

Свойства касательных и вписанных углов

Свойство 1: Касательная, проведенная к окружности из точки касания, перпендикулярна радиусу окружности, проведенному в точку касания.

Свойство 2: Угол между касательной и хордой окружности, проведенной из точки касания, равен половине угла, образованного этой хордой и радиусом, проведенным в точку касания.

Из этих свойств мы можем вывести следующее:

Свойство 3: Если касательная пересекает хорду окружности, то отрезки хорды, отсекаемые касательной, имеют равные длины.

Нахождение периметра отсеченного треугольника

Давайте применим эти свойства к нашей задаче.

Мы знаем, что касательная пересекает оба катета треугольника. Пусть точки пересечения касательной с катетами будут M и N.

Так как касательная перпендикулярна радиусу окружности, проведенному в точку касания, то у нас имеется два прямоугольных треугольника: AMN и BNM, где A и B - вершины египетского треугольника.

Также, из свойства 3, мы знаем, что AM = BN, так как они являются отрезками хорды, отсекаемыми касательной.

Теперь мы можем выразить длины сторон отсеченного треугольника через длины катетов:

- x = AM = BN = a - y = AN - z = BM

Так как AMN и BNM являются прямоугольными треугольниками, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длины сторон y и z:

- y = √(a^2 - x^2) = √(a^2 - a^2) = √0 = 0 - z = √(b^2 - x^2)

Теперь у нас есть длины всех сторон отсеченного треугольника. Чтобы найти его периметр, мы можем просто сложить эти длины:

Периметр отсеченного треугольника = x + y + z = a + 0 + √(b^2 - a^2) = a + √(b^2 - a^2)

Таким образом, периметр отсеченного треугольника равен a + √(b^2 - a^2).