Question

Дано точки А(-1;-2;-1), В(-1;-1;0), С(-1; -1; -1) Знайдіть величину кута ВАС

Answer 1

Ответ:  ∡BAC=45°

Объяснение:

Далее по тексту АВ, АС  есть вектора. Сверху должна быть стрелочка !!!

AB·AC= IABI·IACI·cos ∡BAC

AB=(Xb-Xa;Yb-Ya;Zb-Za)= (-1-(-1); -1-(-2); 0-(-1))= (0;1;1)

AC=(Xc-Xa;Yc-Ya;Zc-Za)= (-1-(-1); -1-(-2); -1-(-1))= (0;1;0)

=> IABI²= (Xab)²+(Yab)²+(Zab)²= 0+1+1=2   => IABI=√2

IACI²= (Xac)²+(Yac)²+(Zac)²= 0+1+0=1   => IACI=√1=1

AB·AC=Xab·Xac+Yab·Yac+Zab·Zac=0·0+1·1+1·0=1

=> √2·1·cos∡BAC=1 => cos∡BAC =1/√2 =√2/2

=>∡BAC=45°

Answer 2

Для того чтобы найти величину угла BAC (в данном случае угла VAC), нужно воспользоваться скалярным произведением векторов. Угол между двумя векторами вычисляется по формуле:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}{\|\mathbf{AB}\| \cdot \|\mathbf{AC}\|}, \]

где \(\mathbf{AB}\) - вектор, направленный от точки A к точке B, а \(\mathbf{AC}\) - вектор, направленный от точки A к точке C. В данном случае:

\[\mathbf{AB} = \begin{bmatrix}-1-(-1) \\ -1-(-2) \\ 0-(-1)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix},\] \[\mathbf{AC} = \begin{bmatrix}-1-(-1) \\ -1-(-1) \\ -1-(-1)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ -2\end{bmatrix}.\]

Теперь вычислим скалярное произведение и нормы векторов:

\[\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) = -2,\] \[\|\mathbf{AB}\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2},\] \[\|\mathbf{AC}\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-2)^2} = 2.\]

Теперь можем подставить значения в формулу для вычисления угла:

\[\cos(\theta) = \frac{-2}{\sqrt{2} \cdot 2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}.\]

Теперь найдем значение угла:

\[\theta = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).\]

Это значение угла можно выразить как градусы или радианы, в зависимости от того, в каких единицах измерения вам нужен ответ.