Question

5. Квадрат вписан в окружность радиуса 8 см. На стороне квадрата построен правильный треугольник. Найдите: а) радиус окружности, вписанной в этот треугольник. b) площадь этого треугольника.​

Answer 1

Ответ:

 а)    $r=\dfrac{4\sqrt{6} }{3}$   см ;   б) 32 √3 см².

Объяснение:

Квадрат вписан в окружность радиуса 8 см. На стороне квадрата построен правильный треугольник . Найти: а) радиус окружности вписанной в этот треугольник. б) площадь этого треугольника.

Дан квадрат ABCD вписанный в окружность, тогда окружность описана около квадрата.

Радиус окружности, описанной около квадрата, определяется по формуле:

$R =\dfrac{a }{\sqrt{2} } ,$       где а -сторона квадрата. Тогда найдем сторону квадрата

$a= R\sqrt{2} \\AB = 8\sqrt{2}$ см

На стороне АВ квадрат построен Δ АВК - правильный.

Значит, стороны этого треугольника все равны по 8√2 см.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, определяется по формуле:

$r= \dfrac{a}{2\sqrt{3} } ,$   где а - сторона треугольника.

Тогда  

$r= \dfrac{8\sqrt{2} }{2\sqrt{3} } =\dfrac{4\sqrt{2} }{\sqrt{3} } =\dfrac{4\sqrt{2}\cdot \sqrt{3} }{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3} } =\dfrac{4\sqrt{6} }{3}$   см

Найдем площадь треугольника как полупроизведение периметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Периметр-  это сумма длин всех сторон

P = 3· 8√2= 24√2 cм.

$S =\dfrac{1}{2} \cdot 24 \sqrt{2} \cdot \dfrac{4\sqrt{6} }{3} =\dfrac{24\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{6} }{6} =16\sqrt{12} =16\sqrt{4\cdot3} =16\cdot 2\sqrt{3} =32\sqrt{3}$

Площадь треугольника равна 32 √3 см².

#SPJ1

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанных фигур.

1. Радиус окружности, вписанной в треугольник:

Поскольку квадрат вписан в окружность, диагонали квадрата равны двум радиусам этой окружности. Значит, длина диагонали квадрата равна \(2 \times 8 \, \text{см} = 16 \, \text{см}\).

Также, правильный треугольник, построенный на стороне квадрата, имеет свойство, что каждая сторона треугольника равна радиусу окружности, вписанной в этот треугольник.

Таким образом, сторона треугольника равна \(16 \, \text{см}\), что является радиусом окружности, вписанной в треугольник.

2. Площадь треугольника:

Радиус описанной окружности для правильного треугольника связан с его стороной следующим образом: \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \), где \( R \) - радиус описанной окружности, \( a \) - сторона треугольника.

Мы уже выяснили, что \( a = 16 \, \text{см} \), поэтому можно найти радиус описанной окружности: \( R = \frac{16}{\sqrt{3}} \, \text{см} \).

Площадь правильного треугольника можно вычислить по формуле: \( S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \).

Подставим значение стороны \( a = 16 \, \text{см} \): \( S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16^2 \, \text{см}^2 \).

Рассчитаем числовое значение.

Вот итоговые ответы:

а) Радиус окружности, вписанной в треугольник: \( \frac{16}{\sqrt{3}} \, \text{см} \).

б) Площадь треугольника: \( \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16^2 \, \text{см}^2 \).