Question

Одна сторона трикутника на 2 см більша за другу , а кут між ними становить 120°. Знайдіть плошу трикутника, якщо третя його сторона дорівнює 7 см.

Answer 1

Дано:
ΔАВС, AB-BC=2 см,
AC= 7 см, <ABC = 120°
Знайти:   S Δ АВС


Розв'язання:
$S=\frac{1}{2} AB*BC*sinABC$
Нехай АВ=х см, тоді ВС=(х+2) см
За теоремою косинусів:
AC²=AB²+BC²-2•AB•BC•cos<ABC

Маємо рівняння:
7²=x²+(x+2)²-2•x•(x+2)•cos120°
49=x²+x²+4x+4-(2x²+4x) •(-1/2).
49=2x²+4x+4+x²+2x
3x²+6x-45=0 | : 3
x²+2x-15=0.
x₁=3, x₂=-5 - зайвий корінь

Отже,  AB=3 см, BC=х+2=5 см

$S=\frac{1}{2} *3*5*sin120=7,5*0,866=6,495=6,5$

Відповідь: SΔABC=6,5 см²

Answer 2

Для розв'язання цього завдання використаємо формулу площі трикутника, яка залежить від довжини сторін та кута між ними.

За умовою, одна сторона трикутника на 2 см більша за другу. Позначимо довжину меншої сторони як x, тоді довжина більшої сторони буде x + 2 см.

Також задано, що кут між цими сторонами становить 120°.

Третя сторона трикутника задана як 7 см.

За теоремою косинусів, можемо отримати довжину третьої сторони трикутника:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)

де c - довжина третьої сторони, a і b - довжини перших двох сторін, C - кут між ними.

Підставимо відомі значення:

7^2 = x^2 + (x + 2)^2 - 2 * x * (x + 2) * cos(120°)

Спростимо це рівняння для знаходження значення x.

7^2 = x^2 + (x^2 + 4x + 4) - 2x(x + 2) * (-1/2)

49 = x^2 + x^2 + 4x + 4 + x^2 + 2x

49 = 3x^2 + 6x + 4

3x^2 + 6x + 4 - 49 = 0

3x^2 + 6x - 45 = 0

Тепер можемо розв'язати це квадратне рівняння за допомогою формули дискримінанта або факторизації.

Дискримінант D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 3 * (-45) = 36 + 540 = 576

Так як D > 0, то у нас є два різних розв'язки для x:

x = (-b + sqrt(D))/(2a) = (-6 + sqrt(576))/(2 * 3) = (-6 + 24)/(6) = 18/6 = 3

x = (-b - sqrt(D))/(2a) = (-6 - sqrt(576))/(2 * 3) = (-6 - 24)/(6) = -30/6 = -5

Отримали два значення для x: 3 та -5. Оскільки довжина сторони не може бути від'ємною, відкидаємо -5.

Таким чином, довжина меншої сторони дорівнює 3 см, а довжина більшої сторони дорівнює 3 + 2 = 5 см.

Тепер можна обчислити площу трикутника за формулою:

S = (1/2) * a * b * sin(C)

де a і b - довжини сторін, C - кут між ними.

Підставимо відомі значення:

S = (1/2) * 3 * 5 * sin(120°) = (1/2) * 15 * sin(120°)

Тут використаємо значення синуса для кута 120°: sin(120°) = sqrt(3)/2.

S = (1/2) * 15 * (sqrt(3)/2) = 15 * sqrt(3)/4

Таким чином, площа трикутника дорівнює 15 * sqrt(3)/4 квадратних сантиметрів.

Будь ласка, зверніть увагу, що у відповіді з'явилися такі математичні символи, як ^ (піднесення до степеня), * (множення), / (ділення), sqrt (квадратний корінь) та sin (синус).