Question

Радіус кола, вписаного в правильний трикутник, дорів- нює 5/3 дм. Знайдіть сторону трикутника і радіус кола, описаного навколо трикутника.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Для того, щоб знайти сторону трикутника, нам потрібно використати формулу для радіуса вписаного кола:

r = a/(2 * sin(π/3)), де a - сторона трикутника

Підставляємо дані: 5/3 = a/(2 * sin(π/3))

sin(π/3) = √3/2, тому 5/3 = a/√3

Отже, a = 5√3/3 дм.

Для того, щоб знайти радіус описаного кола, нам потрібно використати формулу для радіуса описаного кола:

R = a/(2 * sin(π/3)), де a - сторона трикутника

Підставляємо дані: R = (5√3/3)/(2 * sin(π/3))

sin(π/3) = √3/2, тому R = 5/√3 дм.

Отже, сторона трикутника дорівнює 5√3/3 дм, а радіус описаного навколо нього кола дорівнює 5/√3 дм.

Answer 2

Давайте позначимо через \( R \) радіус вписаного кола в правильний трикутник і через \( r \) - радіус описаного кола. Також, нехай сторона правильного трикутника буде \( a \).

Маємо важливу формулу для радіуса вписаного кола в правильний трикутник:

\[ R = \frac{a}{2 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} \]

де \( n \) - кількість сторін правильного трикутника, в даному випадку \( n = 3 \) (бо це трикутник).

Задано, що радіус вписаного кола \( R = \frac{5}{3} \) дм, тобто:

\[ \frac{5}{3} = \frac{a}{2 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)} \]

Тепер знайдемо сторону трикутника \( a \):

\[ a = 2 \cdot R \cdot \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) \]

Підставимо значення \( R \):

\[ a = 2 \cdot \frac{5}{3} \cdot \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) \]

Розрахунок:

\[ a = 2 \cdot \frac{5}{3} \cdot \sqrt{3} \]

Тепер маємо сторону трикутника \( a \).

Також, щоб знайти радіус описаного кола \( r \), використовуємо наступну формулу:

\[ r = \frac{a}{2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} \]

Підставимо значення \( a \) та \( n \):

\[ r = \frac{2 \cdot \frac{5}{3} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)} \]

Розрахунок:

\[ r = \frac{5}{\sqrt{3}} \]

Отже, отримали сторону трикутника \( a \) та радіус описаного кола \( r \).