Question

У трикутнику з вершинами А(4; 1; –3), В(6; 5; –1), С(2; 2; –1). Знайти величину косинуса зовнішнього кута при вершині С.

Answer 1

Ответ:

Величина косинуса зовнішнього кута при вершині С дорівнює $\bf -\dfrac{1}{3}$

Объяснение:

У трикутнику з вершинами А(4; 1; –3), В(6; 5; –1), С(2; 2; –1). Знайти величину косинуса зовнішнього кута при вершині С.

Схема обчислень полягає у знаходженні косинуса кута через скалярний добуток двох векторів, що виходять з однієї вершини трикутника. Для цього зі сторін трикутника ABC сформуємо вектори: $\overrightarrow{CA} \quad i \quad \overrightarrow{CB}$  зі спільним початком при вершині C.

Тоді косинус кута між векторами $\overrightarrow{CA} \quad i \quad \overrightarrow{CB}$ - внутрішній кут С трикутника ABC знайдемо за формулою:

$\boxed{\bf \cos \angle C=\dfrac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{\mid\overrightarrow{CA}\mid \cdot \mid \overrightarrow{CB}\mid}}$

1. Знайдемо координати $\bf \overrightarrow{CA} \quad i \quad \overrightarrow{CB}$

С(2; 2; –1);  А(4; 1; –3)

$\overrightarrow{CA} =(x_A-x_C;y_A-y_C;z_A-z_C)=(4-2;1-2;-3-(-1))=\bf (2;-1;-2)$

С(2; 2; –1);  В(6; 5; –1)

$\overrightarrow{CB} =(x_B-x_C;y_B-y_C;z_B-z_C)=(6-2;5-2;-1-(-1))=\bf (4;3;0)$

2.Обчислимо скалярний добуток векторів за формулою:

$\bf \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}=x_{CA}\cdot x_{CB}+y_{CA}\cdot y_{CB}+z_{CA}\cdot z_{CB}$

$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}=2\cdot4+(-1)\cdot 3+(-2) \cdot0=8-3+0=\bf 5$

3. Знайдемо модулі (довжини) векторів $\bf \overrightarrow{CA} \quad i \quad \overrightarrow{CB}$

$\mid\overrightarrow{CA}\mid=\sqrt{x^2_{CA}+y^2_{CA}+z^2_{CA}} =\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2} =\sqrt{4+1+4} =\sqrt{9} =\bf 3$

$\mid\overrightarrow{CB}\mid=\sqrt{x^2_{CB}+y^2_{CB}+z^2_{CB}} =\sqrt{4^2+3^2+0^2} =\sqrt{16+9+0} =\sqrt{25} =\bf 5$

4. Знайдемо косинус кута C

$\cos \angle C=\dfrac{5}{3\cdot 5} =\bf \dfrac{1}{3}$

5. Зовнішній кут при вершині С (за означенням зовнішнього кута трикутника): 180°-∠С.

Тоді його косинус буде дорівнювати (за формулами зведення):

cos(180°-∠C)=-cos∠C=-1/3

Відповідь: $-\dfrac{1}{3}$

#SPJ1

Answer 2

Для того чтобы найти величину косинуса внешнего угла при вершине С, нам необходимо знать длины сторон треугольника. Однако, в данном случае нам даны только координаты вершин треугольника.

Чтобы найти длины сторон треугольника, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Для нахождения длины стороны AB, мы можем использовать следующую формулу:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты вершин А и В соответственно.

Применяя эту формулу, мы получаем:

AB = √((6 - 4)^2 + (5 - 1)^2 + (-1 - (-3))^2) = √(2^2 + 4^2 + 2^2) = √(4 + 16 + 4) = √24 = 2√6

Аналогично, мы можем вычислить длины сторон BC и AC:

BC = √((2 - 6)^2 + (2 - 5)^2 + (-1 - (-1))^2) = √((-4)^2 + (-3)^2 + 0^2) = √(16 + 9 + 0) = √25 = 5

AC = √((2 - 4)^2 + (2 - 1)^2 + (-1 - (-3))^2) = √((-2)^2 + 1^2 + 2^2) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3

Теперь, чтобы найти косинус внешнего угла при вершине С, мы можем использовать формулу косинуса:

cos(θ) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)

где a, b, c - длины сторон треугольника, причем c - сторона противолежащая углу θ.

Применяя эту формулу, мы можем вычислить косинус внешнего угла при вершине С:

cos(θ) = (5^2 + 2√6^2 - 3^2) / (2 * 5 * 2√6) = (25 + 24 - 9) / (10√6) = 40 / (10√6) = 4 / √6 = (4 * √6) / 6

Таким образом, величина косинуса внешнего угла при вершине С равна (4 * √6) / 6.