Question

10. Доведіть, що якщо дві висоти трикутника рівні, то він рівнобедрений.

Answer 1

Ответ:

я решил Ваше заданин

Объяснение:

Answer 2

Для доведення даної властивості треба розглянути різні випадки.

Припустимо, що ми маємо трикутник ABC, в якому висоти AD і BE рівні один одному (AD = BE).

Беремо дві такі висоти AD і BE і виводимо їх перпендикулярно до сторін трикутника:

A / \ / \ / \ /_______\ D E /_\ /_\ B C B' C'

Питання полягає в тому, чи можуть сторони трикутника ABC бути різними, якщо AD = BE?

Розглянемо довжини сторін трикутника ABC і позначимо їх як a, b і c:

AB = c BC = a AC = b

Також зазначимо, що B'C' - перпендикуляр, спущений з точки B на сторону AC, а B'C' = BE = AD.

За теоремою Піфагора, можна записати наступні рівності:

AB^2 + BC^2 = AC^2 (c^2 + a^2) = b^2

Застосуємо подібні співвідношення до трикутника AB'C', де AB' = BC, B'C' = AD = BE, і знову застосуємо теорему Піфагора:

AB'^2 + B'C'^2 = AC'^2 (a^2 + (2BE)^2) = b'^2 (a^2 + 4BE^2) = b'^2 (a^2 + 4AD^2) = b'^2 (a^2 + 4AD^2) = b^2

Таким чином, отримуємо рівність:

a^2 + 4AD^2 = b^2 c^2 + a^2 = b^2

Звідси видно, що c^2 + a^2 = a^2 + 4AD^2, або c^2 = 4AD^2.

Ступенюючи обидві частини рівності на AD, отримуємо:

c^2 / AD^2 = 4

Тому, якщо дві висоти трикутника рівні, то він має рівні сторони і є рівнобедреним.