Question

У трикутнику АВС : ВН- висота, кут ВАС= 30 градусів, ВС= 4 см, СН = 1см. Знайти довжину АН

Answer 1

Ответ: AH = 3√5 см

Объяснение:

У трикутнику АВС: ВН - висота, кут ВАС= 30 градусів, ВС= 4 см, СН = 1см. Знайти довжину АН.

********

Так как BH - высота, по условию ⇒ ΔBHC - прямоугольный.

Найдём BH по теореме Пифагора:

$BH = \sqrt{BC^2-CH^2} = \sqrt{4^2-1^2} = \sqrt{16 - 1} = \sqrt{15}$ см

ΔABH - прямоугольный, т.к. BH - высота.

• Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

∠BAH = 30°, по условию ⇒ $AB = 2 \cdot BH = 2 \cdot \sqrt{15} = 2\sqrt{15}$ см

Дальше AH найдём 2 способами:

I способ.

Найдём AH по теореме Пифагора:

$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{(2\sqrt{15})^2-\sqrt{15} ^2 } = \sqrt{60-15} = \sqrt{45} = \sqrt{9\cdot 5} =3\sqrt{5}$ см

II способ.

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠ABH = 90° - ∠BAH = 90° - 30° = 60°

• Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 60°, равен произведению меньшего катета на √3.

∠ABH = 60° ⇒ $AH = BH \cdot \sqrt{3} = \sqrt{15} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} =3\sqrt{5}$ см

#SPJ1

Answer 2

Для розв'язання задачі використаємо теорему синусів.

За теоремою синусів маємо: AB / sin(30°) = BN / sin(90°), AC / sin(90°) = CN / sin(30°), AC / sin(90°) = AB / sin(60°).

За умовою відомо, що BC = 4 см і CH = 1 см.

Довжини відрізків, позначені умовою такі: AC = 4 см, CN = 1 см.

Застосуємо теорему синусів до кутів AlhphA, BetaB та GammaC. Вийде така система рівнянь: AC / sin(GammaC) = CN / sin(AlphaA), AC / sin(BetaB) = CN / sin(GammaC), AC / sin(AlphaA) = CN / sin(BetaB).

Знаходимо AlphaA: AlphaA = arcsin((AC * sin(GammaC)) / CN). BetaB = 90°, бо BetaB є прямим кутом у прямокутному трикутнику ВНС.

Тепер, маючи значення AlphaA та BetaB, можемо визначити GammaC: GammaC = 180° - AlphaA - BetaB.

Підставимо ці значення в одне з рівнянь: AC / sin(GammaC) = CN / sin(AlphaA).

Знайдемо значення AC: AC = (CN * sin(GammaC)) / sin(AlphaA).

Підставимо значення з умови: AC = (1 см * sin(GammaC)) / sin(AlphaA).

Zнайдемо GammaC: GammaC = 180° - 30° - 90° = 60°.

Підставимо ці значення: AC = (1 см * sin(60°)) / sin(30°) ≈ 1.73 см.

Таким чином, довжина AN ≈ AC - CH = 1.73 см - 1 см = 0.73 см.