Question

Знайдіть значення виразу ⁸√√2+√3 * ⁸√√3-√2

Answer 1

Відповідь:   1 .

Пояснення:

    ⁸√(√2+√3 ) * ⁸√(√3 - √2 ) =  ⁸√[ (√3 + √2 ) * (√3 - √2 ) ] =

  = ⁸√[ (√3 )² - ( √2 )² ] = ⁸√( 3 - 2 ) = ⁸√ 1 = 1 .

Answer 2

Давайте розглянемо вираз \(\sqrt[8]{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} \cdot \sqrt[8]{\sqrt{3} - \sqrt{2}}\).

1. Спочатку розглянемо вираз під коренем \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}\):

\(\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}\).

2. Тепер піднімемо отриманий результат до ступеня \(\frac{1}{8}\):

\(\sqrt[8]{\sqrt{6}}\).

3. Тепер розглянемо другий член під коренем \(\sqrt{3} - \sqrt{2}\):

\(\sqrt{3} - \sqrt{2}\).

4. Тепер піднімемо цей результат до ступеня \(\frac{1}{8}\):

\(\sqrt[8]{\sqrt{3} - \sqrt{2}}\).

5. Тепер перемножимо обидва отримані результати:

\(\sqrt[8]{\sqrt{6}} \cdot \sqrt[8]{\sqrt{3} - \sqrt{2}}\).

6. Щоб спростити це вираження, можемо скористатися властивістю індексів кореня, згідно з якою \(\sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{a \cdot b}\):

\(\sqrt[8]{\sqrt{6} \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{2})}\).

7. Далі розглянемо вираз \(\sqrt{6} \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{2})\):

\(\sqrt{6} \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \sqrt{18} - \sqrt{12}\).

8. Розкладемо корені:

\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3 \cdot \sqrt{2}\).

\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2 \cdot \sqrt{3}\).

Тепер можемо підставити назад у вираз:

\(\sqrt{6} \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 3 \cdot \sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{3}\).

9. Тепер піднімемо отриманий результат до ступеня \(\frac{1}{8}\):

\(\sqrt[8]{3 \cdot \sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{3}}\).

Отже, значення виразу \(\sqrt[8]{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} \cdot \sqrt[8]{\sqrt{3} - \sqrt{2}}\) дорівнює \(\sqrt[8]{3 \cdot \sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{3}}\).