Question

У рівнобічній трапеції ABCD точка К- середина бічної сторони АВ,ВК=3, кут CКD=90 о . Знайдіть периметр трапеції ABCD

Answer 1

Дано, що у рівнобічній трапеції ABCD точка K є серединою бічної сторони AB, VK = 3 і кут CKD = 90°. Нам треба знайти периметр трапеції ABCD.

Спочатку, оскільки трапеція ABCD є рівнобічною, то ми знаємо, що сторона AB паралельна стороні CD і AB = CD. Також оскільки CKD = 90°, ми можемо сказати, що трикутник CKD - прямокутний.

Оскільки VK = 3 і К - середина AB, то AK = BK = AB / 2. Нехай AB = x, тоді AK = BK = x / 2.

Також, ми можемо застосувати теорему Піфагора до прямокутного трикутника CKD:

CK² + KD² = CD² CK² + (BK + KD)² = (AB + KD)² CK² + (x / 2 + KD)² = (x + KD)² CK² + (x / 2 + KD)² = x² + 2xKD + KD² CK² + (x² / 4 + xKD + KD²) = x² + 2xKD + KD² CK² + x² / 4 + xKD + KD² = x² + 2xKD + KD² CK² + x² / 4 = x² + xKD CK² / x² + 1 / 4 = 1 + KD / x

Оскільки трикутник CKD - прямокутний, то ми можемо застосувати теорему Піфагора до нього.

CK² + KD² = CD² CK² + KD² = AB² - AK² CK² + KD² = x² - (x / 2)² CK² + KD² = x² - x² / 4 CK² + KD² = (3x²) / 4

Тепер, ми знаємо, що CK² + x² / 4 = x² + xKD, та CK² + KD² = (3x²) / 4. Замінюємо значення:

(3x²) / 4 + x² / 4 = x² + xKD (4x² + x²) / 4 = x² + xKD (5x²) / 4 = x² + xKD

Множимо обидві частини на 4, щоб позбутися від знаменника:

5x² = 4x² + 4xKD

Переносимо члени, що містять KD на одну сторону, а члени, що містять x² на іншу сторону:

5x² - 4x² = 4xKD x² = 4xKD

x²/x = 4KD x = 4KD

Тепер ми можемо обчислити периметр трапеції ABCD:

Периметр = AB + BC + CD + DA Периметр = AB + CD + (AK + KB) + (DK + KC)

Оскільки AK = BK = x / 2 і AB = CD = x, ми можемо замінити значення:

Периметр = x + x + (x / 2 + x / 2) + (DK + KC) Периметр = 2x + (x + x) + (DK + KC) Периметр = 4x + (DK + KC)

Оскільки x = 4KD, ми можемо замінити значення:

Периметр = 4(4KD) + (DK + KC) Периметр = 16KD + (DK + KC)

Також ми знаємо, що трикутник CKD - прямокутний. Оскільки CKD - прямокутний трикутник, ми можемо використовувати тригонометрію для обчислення відношення сторін.

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника CKD, ми можемо сказати, що:

CK² + DK² = CD² CK² + DK² = x² - (x / 2)² CK² + DK² = (3x²) / 4

Тепер ми знаємо, що CKD - прямокутний трикутник, а DK = VK = 3. Замінюємо значення:

CK² + 3² = (3x²) / 4 CK² + 9 = (3x²) / 4

(3x²) / 4 = CK² + 9

Оскільки AK = BK = x / 2, ми можемо застосувати теорему Піфагора до трикутника AKC:

AK² + CK² = AC² (x / 2)² + CK² = AC² x² / 4 + CK² = AC²

Оскільки ми знаємо, що CK² + 9 = (3x²) / 4, ми можемо замінити значення:

x² / 4 + ( (3x²) / 4 - 9 ) = AC² ( 4x² + 3x² - 36 ) / 4 = AC² ( 7x² - 36 ) / 4 = AC²

Тепер, ми можемо обчислити периметр трапеції ABCD:

Периметр = 16KD + (DK + KC) Периметр = 16KD + (3 + CK)

Оскільки ми знаємо, що ( 7x² - 36 ) / 4 = AC², ми можемо замінити значення:

Периметр = 16KD + (3 + CK) Периметр = 16KD + (3 + sqrt( ( 7x² - 36 ) / 4 ) )

Таким чином , периметр трапеції ABCD буде 16KD + (3 + sqrt( ( 7x² - 36 ) / 4 ) ).